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1、 课程设计（论文）任务书数学与计算科学学院 学院 信息与计算科学 专业 班课程名称 科学仿真实验五 题 目 直接法求解两点边值问题（一） 任务起止日期： 2014 年 6 月 23 日 2014年 7月 6 日学 生 姓 名 学 号 指 导 教 师 教研室主任 年 月 日审查 课程设计（论文）任务一、课题内容 1. 查阅相关文献，弄清高斯消去法和矩阵的三角分解等问题；2. 编程实现并给出具体应用实例，撰写出设计论文；3. 通过对本课题的实践以期使学生程序编写、调试、用科学计算方法解决实际问题等能力得到较大提高。二、课题要求1. 使用有关算法语言完成本课题的程序设计；2. 程序必须得到合理结果，
2、并对所得结果做必要的分析；3. 设计论文正文篇幅不少于3000字；4. 提交的所有材料必须符合长沙理工大学课程设计管理规定（长理工大教20058号）的要求。纸制文档资料包括：题目的复述、问题的分析、算法的描述、原程序、测试数据及有关运行结果和有关说明。三、课题完成后应提交的材料1. 课程设计材料按以下排列顺序装订成册(1) 封面（统一到学校教材中心领取，并详细填写） (2) 任务书(3) 题目内容(4) 问题分析、算法描述等(5) 简短源程序及有关运行结果等(6) 参考文献(7) 附件（复杂的源程序打印件、有关运行结果）2.装订成册的材料装入资料袋 资料袋统一到学校教材中心领取，并详细填写四、
3、主要参考文献（由指导教师选定）1 严蔚敏 吴伟民数据结构(C语言版)M.北京：清华大学出版社，1997.42 李庆扬，王能超，易大义.数值分析M.武汉.华中科技大学出版社，2006.7.3 清华大学、北京大学计算方法编写组。计算方法M。北京。科学出版社，1980注：1. 此任务书由指导教师填写。如不够填写，可另加页。2. 此任务书最迟必须在课程设计（论文）开始前下达给学生。学生送交全部材料日期 学生（签名） 指导教师验收（签名） 直接法求解两点边值问题（二）摘要线性方程组的数值解法可以分为直接法和迭代法两类。所谓直接法，就是不考虑舍入误差，通过有限步骤四则运算即能求得线性方程组准确解的方法。如
4、克莱姆法则，但通过第一章的分析，我们知道用克莱姆法则来求解线性代数方程组并不实用，因而寻求线性方程组的快速而有效的解法是十分重要的。本章讨论计算机上常用而有效的直接解法高斯消去法和矩阵的三角分解等问题。为方便计，设所讨论的线性方程组的系数行列式不等于零。高斯消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。关键词：线性方程组；直接解法；高斯消去法DIRECT METHOD SOLVING TWO-POINT BOUNDARY VALUE PROBLEMS (2)ABSTRACTNumeri
5、cal algorithm of linear equations can be divided into two categories, direct method and iterative method. The so-called direct method, is not considered rounding error, through limited steps arithmetic which can obtain the accurate solution of linear equations method. Such as cramers rule, but throu
6、gh the analysis of the first chapter, we know that cramers rule is used to solve the linear algebraic equations is not practical, thus seeking quick and effective solutions of systems of linear equations solution is very important.This chapter discuss computer commonly used and effective direct solu
7、tion - gaussian elimination and triangle decomposition of matrices. For the convenience of meter, discussed the coefficient determinant of linear equations is not equal to zero.Gauss elimination method is one of the most commonly used method of solving linear equations, the basic idea is to pass a g
8、radual elimination, to coefficient matrix of the triangular matrix equations with solutions of the equations, then by back substitution method solving the triangle equations to the solution of the original equations.Key words: linear equations; Direct method; Gaussian elimination目录1 问题的提出12 理论基础1 2.
9、1 高斯消去法22.2 列主元消去法52.3 矩阵的三角分解法6 2.3.1 算法介绍62.3.2 定理结论72.3.3 计算公式92.4 解三对角方程组的追赶法103 问题的求解123.1 顺序消去法123.2 列主元消去法133.3 Doolittle分解法143.4 追赶法154 计算结果16参考文献20附录211 问题的提出 考虑两点边值问题：容易知道它的精确解为： 为了把微分方程离散，把区间等分，令，得到差分方程：简化为：从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为：对，分别用顺序消去法、列主元消去法、Doolittle分解法和追赶法求解线性方程组，然后比较与精确解的误差，对结果进行分析。
10、改变，讨论同样问题。 2 理论基础许多科学技术问题要归结为解含有多个未知量x1, x2, , xn的线性方程组： （2.1）这里aij (i, j = 1, 2, , n)为方程组的系数，bi（i = 1, 2, , n）为方程组自由项。方程组（2.1）的矩阵形式为：AX = b其中： 线性方程组的数值解法可以分为直接法和迭代法两类。所谓直接法，就是不考虑舍入误差，通过有限步骤四则运算即能求得线性方程组（2.1）准确解的方法。如克莱姆法则，但通过第一章的分析，我们知道用克莱姆法则来求解线性代数方程组并不实用，因而寻求线性方程组的快速而有效的解法是十分重要的。 本章讨论计算机上常用而有效的直接解
11、法高斯消去法和矩阵的三角分解等问题。为方便计，设所讨论的线性方程组的系数行列式不等于零。高斯（Gauss）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。 2.1 高斯消去法一般形式的线性方程组的解法中，为叙述问题方便，将bi写成ai, n+1，i = 1, 2,n。 （2.1）如果a11 0，将第一个方程中x1的系数化为1，得： 其中： j = 1, , n + 1（记 i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , n + 1） 从其它n 1个方程中消x1，使它变成如下形式 （
12、2.2）其中： 由方程（2.2）到（2.3）的过程中，元素起着重要的作用，特别地，把称为主元素。 如果（2.3）中，则以为主元素，又可以把方程组（2.3）化为： （2.3） 针对（2.4） 继续消元，重复同样的手段，第k步所要加工的方程组是： 设，第k步先使上述方程组中第k个方程中xk的系数化为1：然后再从其它（n - k）个方程中消xk，消元公式为： （2.4） 按照上述步骤进行n次后，将原方程组加工成下列形式： 回代公式为： （2.5） 综上所述，高斯消去法分为消元过程与回代过程，消元过程将所给方程组加工成上三角形方程组，再经回代过程求解。 由于计算时不涉及xi, i = 1, 2, , n，所以在存贮时可将方程组AX = b，写成增广矩阵（A, b）存贮。 下面，我们统计一下高斯消去法的工作量；在（2.5）第一个式子中，每执行一次需要次除法，在（2.5）第二个式子中，每执行一次需要次除法。因此在消元过程中，共需要：次乘作法。此
