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1、目录中文摘要 1英文摘要 11 引言 12 幂等矩阵的概念 33 幂等矩阵的性质 4 3. 1 幂等矩阵的主要性质43. 2 幂等矩阵的等价性命题7 3. 3 幂等矩阵的线性组合的相关性质114 幂等矩阵与其他矩阵的关系 144. 1 幂等矩阵与对合矩阵14 4. 1. 1 对合矩阵14 4. 1. 2 幂等矩阵与对合矩阵的关系154. 2 幂等矩阵与投影矩阵16 4. 2. 1 投影矩阵16 4. 2. 2 幂等矩阵与投影矩阵的关系17结束语 19参考文献 20致谢 21英文原文 22英文译文 29幂等矩阵的性质 摘要: 本文对幂等矩阵的一些性质进行归纳总结及推广, 并将幂等矩阵与其他特殊矩
2、阵进行了比较. 给出幂等矩阵的概念. 讨论幂等矩阵的主要性质, 并将其进行推广. 然后研究了幂等矩阵的等价性命题, 以及幂等矩阵的线性组合的相关性质. 再结合对合矩阵和投影矩阵更深入的研究幂等矩阵的性质, 分别讨论了幂等矩阵与对合矩阵, 幂等矩阵与投影矩阵的关系. 关键字: 幂等矩阵; 性质; 对合矩阵; 投影矩阵; 广义逆矩阵PROPERTIES OF IDEMPOTENT MATRIX Suyun Wang, Grade 2009, Mathematics and Applied MathematicsAbstract In this paper, some properties of t
3、he idempotent matrix are summarized and extended, and idempotent matrices are compared with other special matrix. The concept of idempotent matrices are given. The main properties of the idempotent matrix are discussed and promoted . Then, the equivalent propositions of idempotent matrix and the nat
4、ure of the linear combinations of idempotent matrices are studied. The involution matrix and the projection matrix are used to discuss the nature of the idempotent matrices much deeper. The relationship between the idempotent matrix and involution matrix, the idempotent matrix and the projection mat
5、rix are discussed.Key Words the idempotent; the nature; involution matrix; the projection matrix; generalized inverse matrix1 引言 幂等矩阵是矩阵中非常特殊的一类矩阵，也是非常重要且非常常见的一类矩阵，很多其他特殊矩阵都与幂等矩阵有着密切的联系，如对合矩阵及投影矩阵。幂等矩阵在数学领域及其他许多领域的应用都非常广泛，幂等矩阵更是矩阵论中的一个基础部分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要作用。近年来有关此问题的研究吸引了国内外许多研究学者的关注，关于幂等矩阵的研究已经
6、成为矩阵论中的活跃的研究领域。幂等矩阵在研究广义逆矩阵中占有非常重要的地位，研究幂等矩阵的性质是研究其他特殊矩阵的基础。广义逆的思想可追溯到1903年(E.)i.弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆(他称之为伪逆)。1904年，D.希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H.穆尔在1920年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。当时人们对此似乎很少注意。这一概念在以后30年中没有多大发展。曾远荣在1933年，F.J.默里和J.冯诺伊曼在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论。T.N.E.格雷维尔、C.R.
7、拉奥和其他人也作出了重要的贡献。1955年，彭罗斯证明了存在唯一的满足前述性质，并以此作为的定义。1956年，R.拉多证明了彭罗斯定义的广义逆与穆尔定义的广义逆是等价的，因此通称为穆尔-彭罗斯广义逆矩阵。幂等矩阵是国内外学者都非常感兴趣的一类矩阵，如文1中研究了幂等矩阵的可对角化性质，证明了幂等矩阵是可对角化的；文2研究了幂等矩阵的伴随矩阵的幂等性等等。本文在接下来的章节中，我们将先给出幂等矩阵的定义及几个简单命题，并证明之。然后给出幂等矩阵的一系列性质，在前人的基础上进行总结以及推广，并进行证明。再给出幂等矩阵的等价命题，并给出证明。然后讨论幂等矩阵的线性组合的相关性质，再结合对合矩阵和投影
8、矩阵及幂等矩阵分别于对合矩阵和投影矩阵的关系对幂等矩阵进行深入研究。2 幂等矩阵的概念定义2.1 若有性质, 则称为幂等矩阵. 为了更好地了解幂等矩阵, 现在来看以下几个命题:命题2.1 若阶方阵是幂等矩阵, 则与相似的任意阶方阵是幂等矩阵.证明 设(即矩阵与矩阵相似),则, 且 , 又 , . 是幂等矩阵. 命题2.1也可以表述为: 若是幂等矩阵, 则对于任意可逆阵, 也为幂等矩阵.命题2.2 若阶方阵是幂等矩阵, 则的转置, 的伴随矩阵及都是幂等矩阵.证明 , 即为幂等矩阵; 对, 先证明对任意两个幂等矩阵, 有关系式. 由公式有: 矩阵的第行第列的代数余子式 所以, ; 对, 有 .命题
9、2.3 若是幂等矩阵, 的次幂仍是幂等矩阵.证明 可用数学归纳法证明. 当时, 显然成立. 假设当时, 命题成立, 现考虑情形: . 即当时命题仍成立, 由数学归纳法知, 对任意命题都成立.3 幂等矩阵的性质3.1 幂等矩阵的主要性质性质3.1.1 矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵. 由和的定义可知命题成立.性质3.1.2 幂等矩阵满足: .证明 . .性质3.1.3 若矩阵均为幂等矩阵, 且, 则与也是幂等矩阵.证明 . 同理, 也是幂等矩阵.性质3.1.4 若幂等矩阵可逆, 则.证明 .性质3.1.5 幂等矩阵的特征值只能为0或1.证明 设是幂等矩阵, 即, 再设的特征值为, 则(由特征值的性质
10、), 故. 由这个性质可以知道幂等矩阵是半正定矩阵.性质3.1.6 幂等矩阵可对角化.证明 设是幂等矩阵, 为的最小多项式, 由性质3.1.5知: 或或, 最小多项式是互素的一次因式的乘积, 从而可对角化.另证明 当(即)时, 显然成立. 当时, 的特征值全为0, 1. 的属于1的特征子空间的维数等于齐次线性方程组的解空间的维数. 属于0的特征子空间的维数等于齐次线性方程组的解空间的维数.由幂等矩阵的性质有. 故可对角化, 设, 则由幂等矩阵的性质得, 因此的相似标准型为.性质3.1.7 若是幂等矩阵, 则, 是可逆矩阵.证明 , . 又, . 故可逆, 且.性质3.1.8 幂等矩阵的迹等于幂
11、等矩阵的秩, 即.证明 设分别为A 的特征值及其相应的特征向量, 于是有: , 从而有. 由此可推得结果.性质3.1.9 若满足, 则是幂等矩阵.证明 设的基础解系为(其实它们都是特征值0的特征向量), 再设的基础解系为(它们都是特征值为1的特征向量), 且, 设矩阵(可逆)满足, 而是幂等矩阵, 故也是幂等矩阵.例3.1.1 设都是幂等矩阵, 且, 证明: 是幂等矩阵.证明 由题意可知, 且, 于是: .例3.1.2 设为阶幂等矩阵, 且, .证明 (1) 若则或. (2) 若则或.证明 (1) , 由题设知, 则有 . 对上式两边同乘于得:. 移项得 . 从而有, 即或. 同理可证( 2)
12、.例3.1.3 设是阶实对称阵, 且, 证明: 正交矩阵, .证明 设是属于的特征向量, 那么,又, 从而,但, .(由幂等矩阵的性质也可以得知), 故的特征值不是0就是1. 故(可由特征向量构造, 将转化为标准型即为所求).3.2 幂等矩阵的等价命题 幂等矩阵的等价命题在实数域内与复数域内基本是一致的, 故在此只考虑幂等矩阵在实数域内的等价命题.定理3.2.1 以下命题等价:(i) ; (ii) , ;(iii) ; (iv) ;(v) , ; (vi) , ;(vii) , ;(viii) ;(ix) 非奇异矩阵, , 其中.证明 (i)、(ii)、(iii)的等价性是易证的.(i)(iv
13、) , 由性质5知, 的特征值只能为0或1, 即为对应特征值1的特征子空间. .(i)(v) “” . 故的列向量都满足. 从而,又, 有: . 由的任意性可知. 综上, . “” 对有,即. 于是有. 由的任意性得. 同理可证.(i)(vi) 若, 即对某两个成立, 则, 故. 同理可证后面一个式子. 从而(iv)成立. 反之, 若(vi)成立, 则对任一, 有 是的唯一分解. 但又有唯一分解, 又. 于是对任何成立着, 从而.(vi)(vii) 注意到对任何成立, 故总有, 故(vi)与(vii)等价.(vii)(viii)总是成立的. 由维数公式知 . 由性质3.1.8可知, 若, 则. 另外, 利用矩阵的满秩分解, 我们可以具体的找出(ix)中的变换阵.
