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1、解析几何教案第一章 向量与坐标本章教学目的：通过本章学习，使学生掌握向量及其运算的概念，熟练掌握线性运算和非线性运算的基本性质、运算规律和分量表示，会利用向量及其运算建立空间坐标系和解决某些几何问题，为以下各章利用代数方法研究空间图形的性质打下基础.本章教学重点： （1）向量的基本概念和向量间关系的各种刻划。（2）向量的线性运算、积运算的定义、运算规律及分量表示.本章教学难点：（1）向量及其运算与空间坐标系的联系；（2）向量的数量积与向量积的区别与联系；（3）向量及其运算在平面、立体几何中的应用.本章教学内容： 1.1 向量的基本概念一、定义：既有大小又有方向的量称为向量，如力、速度、位移等.
2、二、表示：在几何上，用带箭头的线段表示向量，箭头表示向量的方向，线段长度代表向量的大小；向量的大小又叫向量的模（长度）.始点为A，终点为B的向量，记作，其模记做.注：为方便起见，今后除少数情形用向量的始、终点字母标记向量外，我们一般用小写黑体字母a、b、c标记向量，而用希腊字母、标记数量.三、两种特殊向量：1、零向量：模等于0的向量为零向量，简称零向量，以0记之.注：零向量是唯一方向不定的向量.2、单位向量：模等于1的向量称为单位向量.特别地，与非0向量同向的单位向量称为的单位向量，记作.四、向量间的几种特殊关系：1、平行（共线）：向量a平行于向量b，意即a所在直线平行于b所在直线，记作ab，
3、规定：零向量平行于任何向量. 2、相等：向量a等于向量b，意即a与b同向且模相等，记作a=b.注：二向量相等与否，仅取决于它们的模与方向，而与其位置无关，这种与位置无关的向量称为自由向量，我们以后提到的向量都是指自由向量.3、反向量：与向量a模相等但方向相反的向量称为a的反向量，记作-a，显然， ，零向量的反向量还是其自身.4、共面向量：平行于同一平面的一组向量称为共面向量.易见，任两个向量总是共面的，三向量中若有两向量共线，则三向量一定共面，零向量与任何共面向量组共面.注意：应把向量与数量严格区别开来：向量不能比较大小，如没有意义；向量没有运算，如类似的式子没有意义.1.2 向量的加法一 向
4、量的加法：定义1 设、，以与为邻边作一平行四边形，取对角线向量，记，如图1-1，称为与之和，并记作 （图1-1）这种用平行四边形的对角线向量来规定两个向量之和的方法称作向量加法的平行四边形法则.如果向量与向量在同一直线上，那么，规定它们的和是这样一个向量：若与的指向相同时，和向量的方向与原来两向量相同，其模等于两向量的模之和.若与的指向相反时，和向量的模等于两向量的模之差的绝对值，其方向与模值大的向量方向一致.由于平行四边形的对边平行且相等，可以这样来作出两向量的和向量：定义2 作，以的终点为起点作，联接（图1-2）得 （1-2）该方法称作向量加法的三角形法则. （图1-2）向量加法的三角形法
5、则的实质是： 将两向量的首尾相联，则一向量的首与另一向量的尾的连线就是两向量的和向量.据向量的加法的定义，可以证明向量加法具有下列运算规律：定理1 向量的加法满足下面的运算律：1、交换律 , （1.2-2）2、结合律 . （1.2-3）证 交换律的证明从向量的加法定义即可得证.下证结合律 .自空间任一点O开始依次作则有 ，所以 .由定理1知，对三向量相加，不论其先后顺序和结合顺序如何，结果总是相同的，可以简单的写作.二 向量的减法定义3 若，则我们把叫做与的差，记为显然， ,特别地， .由三角形法则可看出：要从减去，只要把与长度相同而方向相反的向量加到向量上去.由平行四边形法可如下作出向量.设
6、、，以与为邻边作一平行四边形，则对角线向量.例1 设互不共线的三向量、与，试证明顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零向量.证 必要性 设三向量、可以构成三角形（图1-3）， （图1-3） ， 那么, 即 . 充分性 设，作那么，所以，从而，所以、可以构成三角形.例2 用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.证 设四边形的对角线、交于点且互相平分（图1-4）因此从图可看出：， 所以，且，即四边形为平行四边形. （图1-4）1.3 数量乘向量定义1.3.1 设是一个数量，向量与的乘积是一向量，记作，其模等于的倍，即；且方向规定如下：当时，向量的方向与的方向相同
7、；当时，向量是零向量，当时，向量的方向与的方向相反.特别地，取，则向量的模与的模相等，而方向相反，由负向量的定义知： .据向量与数量乘积的定义，可导出数乘向量运算符合下列运算规律：定理1.3.1. 数量与向量的乘法满足下面的运算律：1) 1=2)结合律 ,(1.3-1)3)分配律, (1.3-2)4) . (1.3-3)证 1)据定义显然成立.2)显然，向量、的方向是一致，且 = = .3）分配律 如果或中至少有一个为0，等式显然成立；反之)若, 显然同向，且所以）若不妨设若则有由)可得，所以对的情形可类似证明.一个常用的结论：定理3. 若( 为数量 )，则向量与向量平行，记作；反之，若向量与
8、向量平行且，则( 是数量).设是非零向量，用表示与同方向的单位向量.由于与同方向，从而与亦同方向，而且,即 .我们规定：若， . 于是 .这表明：一个非零向量除以它的模是一个与原向量同方向的单位向量.请注意：向量之间并没有定义除法运算，因此决不能将式子改写成形式 .十分显然，这种错误是受实数运算法则的“惯性作用”所造成.例1 设AM是三角形ABC的中线，求证 .（图1-5）证 如图1-5， 因为 ， 所以 但 因而 ， 即 . 例2 用向量法证明：连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证 设ABC两边AB,AC中点分别为M，N，则所以，且.1.4 向量的线性关系与向量的分解定
9、义1.4.1 由向量与数量所组成的向量叫做向量的线性组合,或称可以用向量线性表示,或称可以分解成向量的线性组合.定理1.4.1 如果向量，那么向量与向量共线的充要条件是可用向量线性表示，即存在实数使得， (1.4-1)并且系数被，唯一确定.证 若成立，那么由定义1.3.1知向量与向量共线.反之，如果向量与向量共线，那么一定存在实数使得（见1.3节中1.3.5的证明）.再证的唯一性：如果，那么，而 ，所以，.定理1.4.2 如果向量不共线，那么向量与共面的充要条件是可用向量线性表示，即 ， (1.4-2)并且系数被，唯一确定.证： （图1-6）因与不共线，由定义1.1.4知.设与中之一共线，那么
10、由定理1.4.1有，其中中有一个为零；如果与都不共线，把它们归结共同的始点，并设，那么经过的终点分别作的平行线依次交直线于（图1-6），因，由定理1.4.1，可设，所以由平行四边形法则得，即.反之，设，如果中有一个为零，如，那么与共线，因此与共面.如果，那么，从向量加法的平行四边形法则知与都共面，因此与共面.最后证的唯一性.因为=，那么 ，如果，那么，将有，这与假设矛盾，所以.同理，这就证明了唯一性.定理1.4.3 如果向量不共面，那么空间任意向量可以由向量线性表示，即存在一组实数使得 ， (1.4-3)并且系数x,y,z被，唯一确定.证明方法与定理1.4.2类似.定义1.4.2 对于个向量，
11、若存在不全为零的实数，使得， (1.4-4)则称向量线性相关.不是线性相关的向量叫做线性无关，即向量线性无关：.定理1.4.4 在时，向量线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合.证 设向量线性相关，则存在不全为零的实数使得，且中至少有一个不等于0，不妨设，则 ；反过来，设向量中有一个向量，不妨设为，它是其余向量的线性组合，即 ，即 .因为数，-1不全为0，所以向量线性相关.定理1.4.5 如果一组向量中的部分向量线性相关，那么这一组向量就线性相关.证 设中有一部分，不妨设前r个向量线性相关，即存在不全为零的实数，使得.则有，因为不全为零，所以线性相关.推论如果一组向量中含有
12、零向量，那么这一组向量就线性相关类似地可证明下面的定理：定理1.4.6 两向量与共线线性相关.定理1.4.7 三向量与共面线性相关.定理1.4.8 空间任意四个或四个以上的向量总是线性相关的.例1 试证明：点在线段上的充要条件是：存在非负实数，使得，且，其中是任意取定的一点.证（先证必要性）设在线段上，则与同向，且，所以 ，.任取一点所以，所以，.取，则，.（充分性）若对任一点有非负实数，使得，且 则 ，所以与共线，即在直线上.又，所以在线段上.例2设为两不共线向量，证明，共线的充要条件是.证 共线,线性相关，即存在不全为0的实数，使， (1.4-5)即 .又因为不共线 即线性无关，故方程有非零解.1.5 标架与坐标一 空间点的直角坐标:平面直角坐标系使我们建立了平面上的点与一对有序数组之间的一一对应关系，沟通了平面图形与数的研究.为了沟通空间图形与数的研究， 我们用类似于平面解析几何的方法，通过引进空间直角坐标系来实现.1、空间直角坐标系过空间一定点，作三条互相垂直的数轴，它们以为原点，且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫轴(横轴)、轴(纵轴)、轴(竖轴)，且统称为坐标轴.通常把轴，轴配置在水平面上，而轴则是铅垂线，它们的正方向要符合右手规则： (图1-7)右手握住轴，当右手的四个指头从轴的正向以角度转向
