2014年湖南省长沙市高考模拟题(二)
理科数学
一、选择题
1. 已知复数满足(为虚数单位),则z的值为 ( A )
A.i B. -i C. 1 D. -1
2. 设随机变量X~N(2,32),若P(X≤c)=P(X>c),则c等于 ( C )
A.0 B.1 C.2 D.3
3. 二项式的展开式中常数项为 ( B )
A.-15 B.15 C.-20 D.20
4. 设A ,B为两个互不相同的集合,命题P:, 命题q:或,则是的( B )
A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件
5. 已知集合,, 若,使得成立,则实数的取值范围是 ( B )
A. B.
x
A
B
P
y
O
C. D.
6. 函数的部分图象如图所示,设是图象的最高点,是图象与轴的交点,若,则的值为 ( C )
A. B. C. D.
7. 设变量x,y满足约束条件,则z=x-3y的最大值为( B )
A. B. C. D.
8. 如图,正方形的边长为3,为的中点,与相交于,则的值是( C )
A. B. C. D.
9 若两条异面直线所成的角为,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有 ( C )
A.12对 B.18对 C.24 对 D.30对
10. 已知函数在区间内任取两个实数,且,不等式恒成立,则实数的取值范围为 ( A )
A. B. C. D.
【解析】,表示点与点
连线的斜率,因为,所以,,
即函数图象在区间内任意两点连线的斜率大于1,即在内恒成立.
由定义域可知,所以,即,
所以成立.设,则,
当时,函数的最大值为15,所以.故选A.
11.如图,是圆的切线,切点为,交圆于两点, ,则=_________.
由切割线定理知,所以,连接OA,在中求得,所以,故答案是:.
12. (选修4-3:不等式证明)不等式有实数解的充要条件是
【解析】
13.(选修4-4:坐标系与参数方程)已知直角坐标系中,直线l的参数方程为. 以直角坐标系xOy中的原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,圆C的极坐标方程为,则圆心C到直线l距离为.
14. 设点是双曲线与圆在第一象限的交点,其中分别是双曲线的左、右焦点,且,则双曲线的离心率为.
15. 【解析】由,,可以推得,
当时,,
当时,,
所以输出.
16. 若三个非零且互不相等的实数、、满足,则称、、是调和的;若满足,则称、、是等差的. 若集合中元素、、既是调和的,又是等差的,则称集合为“好集”.
若集合,集合.则
(1)“好集”中的元素最大值为 2012 ;
(2)“好集”的个数为 1006 .
【解析】若、、既是调和的,又是等差的,则,,.
即“好集”为形如()的集合.
(1)“好集”中的元素最大值为,又因为,所以最大值为2012.
(2)由“好集”是集合的三元子集知,,,且.
∴ ,,且.符合条件的可取1006个值.
∴ “好集”的个数为1006.
三、解答题:
17. 已知函数 .
(Ⅰ)求函数f (x)的最小正周期;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是,且满足,求的取值范围.
【解析】(Ⅰ)f (x)=1+sin2x+(1−cos2x) =1++2sin f (x)的最小正周期为
(Ⅱ)由可得,即,
,得,
所以 ,
故,从而2sin,
因此f (x)的值域为. ……12分
18. 在如图所示的几何体中,平面,∥,是的中点,,,.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小的余弦值.
【解析】(Ⅰ)因为,∥,所以平面.
故以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则相关各点的坐标分别是,,,,, .所以,
因为平面的一个法向量为,所以,
又因为平面,所以平面. ……6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,.
设是平面的一个法向量,由 得
即.取,则. ……8分
设是平面的一个法向量,由 得
即.取,,
则. ……10分
设二面角的大小为,则.
故二面角的大小的余弦是. ……12分
19. (本小题满分12分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(Ⅰ)张三选择方案甲抽奖,李四选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,若X≤3的概率为,求;
(Ⅱ)若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?
【解析】(Ⅰ)由已知得,张三中奖的概率为,李四中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A,则事件A的对立事件为“X=5”,
因为P(X=5)=×,所以P(A)=1-P(X=5)=1-×=,所以.……6分
(Ⅱ)设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,
则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),
选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).
由已知可得,X1~B,X2~B,
所以E(X1)=2×=,E(X2)=2×,从而E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=6.
若E(2X1)>E(3X2),则.若E(2X1)
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