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1、折叠问题强化练习1如图,将一张边长为8的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC的中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段MN的长为()A10B4CD2如图,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论:四边形CFHE是菱形;EC平分DCH;线段BF的取值范围为3BF4;当点H与点A重合时,EF=2以上结论中,你认为正确的有()个A1B2C3D43如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且AE=AB,将矩形沿直线EF折叠,点B恰好落在AD边上的点P处,连接BP交E
2、F于点Q,对于下列结论:EF=2BE;PF=2PE;FQ=4EQ;PBF是等边三角形其中正确的是()ABCD4如图,在RtABC中,C=90,AC=,BC=1,D在AC上,将ADB沿直线BD翻折后,点A落在点E处,如果ADED,那么ABE的面积是()A1BCD5已知:如图,四边形AOBC是矩形,以O为坐标原点,OB、OA分别在x轴、y轴上,点A的坐标为(0,3),OAB=60,以AB为轴对折后,C点落在D点处,则D点的坐标为()ABCD6小明在学习“锐角三角函数”中发现,将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC上的点E处,还原后,再沿过点E的直线折叠,使点A落在BC上的点
3、F处,这样就可以求出67.5角的正切值是()A+1B+1C2.5D7如图,在菱形纸片ABCD中,A=60,将纸片折叠,点A、D分别落在点A、D处,且AD经过点B,EF为折痕,当DFCD时,的值为()ABCD8如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将ABE沿BE折叠后得到GBE,延长BG交CD于F点,若CF=1,FD=2,则BC的长为()A3B2C2D29如图,在矩形ABCD中,ADAB,将矩形ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕为MN,连接CN若CDN的面积与CMN的面积比为1:4,则 的值为()A2B4CD10如图,已知ABC中,CAB=B=30,AB=2,点D在BC边上,把ABC沿AD翻折
4、使AB与AC重合,得ABD,则ABC与ABD重叠部分的面积为()ABC3D11如图,在直角ABC中,BAC=90,AB=3,M是边BC上的点,连接AM如果将ABM沿直线AM翻折后,点B恰好在边AC的中点处,那么点M到AC的距离是()A1.5B2C2.5D312矩形纸片ABCD中,AB=5,AD=4,将纸片折叠,使点B落在边CD上的B处,折痕为AE延长BE交AB的延长线于M,折痕AE上有点P,下列五个结论中正确的有()个M=DAB;PB=PB;MB=CD;若BPCD,则EB=BPA2B3C4D513如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE将ADE沿AE对折至AFE,延长E
5、F交边BC于点G,连接AG、CF下列结论:ABGAFG;BG=GC;AGCF;SFGC=3其中正确结论的个数是()A1B2C3D414如图在直角坐标系中,矩形ABC0的边OA在x轴上,边0C在y轴上,点B的坐标为(1,3),将矩形沿对角线AC翻折,B点落在D点的位置,且AD交y轴于点E那么点D的坐标为()ABCD15如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则CF的长为()A6B4C2D116如图所示,在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,将上面的矩形纸片折叠,使点C与点
6、A重合,折痕为EF,点D的对应点为G,连接DG,则图中阴影部分的面积为()AB6CD17在矩形纸片ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,现将纸片折叠压平,使A与C重合,如果设折痕为EF,那么重叠部分AEF的面积等于()ABCD18如图,将ABC沿DE折叠,使点A与BC边的中点F重合,下列结论中:EFAB且EF=AB;BAF=CAF;S四边形ADFE=AFDE;BDF+FEC=2BAC,正确的个数是()A1B2C3D4二解答题(共12小题)19如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交D
7、C于H,折痕为EF,连接BP、BH(1)求证:APB=BPH;(2)当点P在边AD上移动时,PDH的周长是否发生变化?并证明你的结论;(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由20(1)操作发现:如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将ABE沿BE折叠后得到GBE,且点G在矩形ABCD内部小明将BG延长交DC于点F,认为GF=DF,你同意吗?说明理由(2)问题解决:保持(1)中的条件不变,若DC=2DF,求的值;(3)类比探求:保持(1)中条件不变,若DC=nDF,求的值21问题解决:如图(1),将正方
8、形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不与点C,D重合),压平后得到折痕MN当时,求的值类比归纳:在图(1)中,若,则的值等于;若,则的值等于;若(n为整数),则的值等于(用含n的式子表示)联系拓广:如图(2),将矩形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不与点C,D重合),压平后得到折痕MN,设,则的值等于(用含m,n的式子表示)22通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的下面是一个案例,请补充完整原题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,EAF=45,连接EF,则EF=BE+DF,试说明理由(1)思路梳理AB=AD,把ABE绕点A逆时针旋
9、转90至ADG,可使AB与AD重合ADC=B=90,FDG=180,点F、D、G共线根据,易证AFG,得EF=BE+DF(2)类比引申如图2,四边形ABCD中,AB=AD,BAD=90点E、F分别在边BC、CD上,EAF=45若B、D都不是直角,则当B与D满足等量关系时,仍有EF=BE+DF(3)联想拓展如图3,在ABC中,BAC=90,AB=AC,点D、E均在边BC上,且DAE=45猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程23如图,矩形ABCD中,ACB=30,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处,以点P为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别与边A
10、B,BC所在的直线相交,交点分别为E,F(1)当PEAB,PFBC时,如图1,则的值为;(2)现将三角板绕点P逆时针旋转(060)角,如图2,求的值;(3)在(2)的基础上继续旋转,当6090,且使AP:PC=1:2时,如图3,的值是否变化?证明你的结论24阅读材料如图,ABC与DEF都是等腰直角三角形,ACB=EDF=90,且点D在AB边上,AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO,显然点C、F、O在同一条直线上,可以证明BOFCOD,则BF=CD解决问题(1)将图中的RtDEF绕点O旋转得到图,猜想此时线段BF与CD的数量关系,并证明你的结论;(2)如图,若ABC与DEF都是等边三角形
11、,AB、EF的中点均为O,上述(1)中的结论仍然成立吗?如果成立,请说明理由;如不成立,请求出BF与CD之间的数量关系;(3)如图,若ABC与DEF都是等腰三角形,AB、EF的中点均为0,且顶角ACB=EDF=,请直接写出的值(用含的式子表示出来)25问题情境:如图,正方形ABCD的边长为6,点E是射线BC上的一个动点,连结AE并延长,交射线DC于点F,将ABE沿直线AE翻折,点B坐在点B处自主探究:(1)当=1时,如图1,延长AB,交CD于点M CF的长为; 求证:AM=FM(2)当点B恰好落在对角线AC上时,如图2,此时CF的长为,=拓展运用: (3)当=2时,求sinDAB的值26如图1
12、,正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE(ABAE)在一条直线上,正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转,设旋转角为在旋转过程中,两个正方形只有点A重合,其它顶点均不重合,连接BE、DG(1)当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时,求证:BE=DG;(2)当点C在直线BE上时,连接FC,直接写出FCD的度数;(3)如图3,如果=45,AB=2,AE=,求点G到BE的距离27已知:如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=,AEBD,垂足是E点F是点E关于AB的对称点,连接AF、BF(1)求AE和BE的长;(2)若将ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度)当点F分别平移到线段AB、AD上时,直接写出相应的m的值(3)如图,将ABF绕点B顺时针旋转一个角(0180),记旋转中的ABF为ABF,在旋转过程中,设AF所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q是否存在这样的P、Q两点,使DPQ为等腰三角形?若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由28已知:RtABCRtABC,ACB=ACB=90,ABC=ABC=60,RtABC可绕点B旋转,