《材料力学第8章能量法1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《材料力学第8章能量法1（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八章第八章 能量法能量法一、杆件的应变能一、杆件的应变能二、应变能普遍表达式二、应变能普遍表达式( (克拉贝隆原理克拉贝隆原理) )三、卡氏定理三、卡氏定理四、互等定理四、互等定理六、超静定问题六、超静定问题 力法力法七、冲击应力七、冲击应力1求解弹性体系求解弹性体系( (如杆件如杆件) )的变形可采用的方法：的变形可采用的方法：1 1、分析法分析法/ /解析法解析法平衡方程平衡方程静力平衡关系静力平衡关系几何方程几何方程变形变形几何关系几何关系物理方程物理方程应力应变关系应力应变关系 利用利用应变能应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的 方法。方
2、法。 在求解在求解组合变形组合变形、曲杆或杆系曲杆或杆系以及以及超静定问题超静定问题时，能量时，能量 法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。能量法能量法/基本概念基本概念2 2、能量法、能量法2能量法有关的几个基本概念能量法有关的几个基本概念 3 3、能量守恒：、能量守恒：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损 失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能U 在数值上与外力所作的功在数值上与外力所作的功 W 相等。相等。功能原理功能原理 UW1 1、外力功、外力功: :线弹性
3、体系在外力的作用下产生变形，每个外力线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力 在与它相对应的位移上所作的功在与它相对应的位移上所作的功 W。2 2、应变能、应变能: :弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个 被储存的能量即为被储存的能量即为应变能应变能或或变形能变形能 U。能量法能量法/基本概念基本概念3一、杆件产生基本变形时的应变能一、杆件产生基本变形时的应变能1 1、轴向拉伸或压缩、轴向拉伸或压缩FL LOB LFA能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能式中式中 轴力，轴力， A 横截面面积横截面面积4由拉压杆件组成的杆系的应变能：由拉压
4、杆件组成的杆系的应变能：F12345 结构中第结构中第i杆的轴力杆的轴力 Li结构中第结构中第i杆的长度，杆的长度， Ai 第第i杆的截面面积杆的截面面积式中式中 n杆系中杆件的总数。杆系中杆件的总数。能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能5取微段研究取微段研究：微段的应变能微段的应变能：整个杆件的整个杆件的拉压应变能拉压应变能受力复杂杆受力复杂杆( (轴力沿杆的轴线变化轴力沿杆的轴线变化) )的应变能的应变能qLdxdx (dx)x能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能62 2、圆截面杆的扭转、圆截面杆的扭转MxLMxOBMxA圆截面杆的应变能圆截面杆的应变能式中式中 T 圆杆横截面上的扭矩
5、；圆杆横截面上的扭矩； 圆杆横截面对圆心的极惯性矩。圆杆横截面对圆心的极惯性矩。 能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能7受力复杂的圆截面杆受力复杂的圆截面杆( (扭矩沿杆的轴线为变量扭矩沿杆的轴线为变量) )d dxTT整个杆的整个杆的扭转应变能扭转应变能为为可取微段分析：可取微段分析：能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能83 3、平面弯曲、平面弯曲纯弯曲梁的应变能：纯弯曲梁的应变能：式中式中 M 梁横截面上的弯矩；梁横截面上的弯矩； I 梁横截面对中性轴的惯性矩梁横截面对中性轴的惯性矩LmmoBAm能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能9横力弯曲梁横力弯曲梁( (弯矩沿梁的轴线为变量弯矩
6、沿梁的轴线为变量) )的应变能的应变能整梁的整梁的弯曲应变能弯曲应变能按微段分析：按微段分析：和拉压、扭转应变能比较和拉压、扭转应变能比较和拉压、扭转应变能比较和拉压、扭转应变能比较能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能104 4、剪切、剪切纯剪切时微段梁的应变能：纯剪切时微段梁的应变能： FSdxFSOBCFS/A 由于切应力在截面上并非均匀分布。引入系数由于切应力在截面上并非均匀分布。引入系数k, ,因此因此微段梁的应变能为：微段梁的应变能为：能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能11整个梁的整个梁的剪切应变能剪切应变能：式中式中( (b为截面的宽度，为截面的宽度，S为截面对中性为截面对中
7、性轴的静矩轴的静矩) )(2)一般实心截面的细长梁一般实心截面的细长梁: :剪切应变能远小于其弯曲剪切应变能远小于其弯曲应变能，通常忽略不计。应变能，通常忽略不计。(1) k 由截面的几何形状决定由截面的几何形状决定: : 矩形截面矩形截面: :k = 1.2, , 圆截面圆截面: : k = 10/9, ,圆环形截面圆环形截面: :k = 2能量法能量法/杆件的应变能杆件的应变能12F例：矩形截面悬臂梁，长例：矩形截面悬臂梁，长L，截，截面高面高h，宽，宽b，k = 1.2。细长梁细长梁整个梁的弯曲应变能：整个梁的弯曲应变能：细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！细长梁的剪切应变能
8、远小于弯曲应变能，可忽略不计！整个梁的剪切应变能：整个梁的剪切应变能：得得解：解：13二、应变能的普遍表达式二、应变能的普遍表达式( (克拉贝隆原理克拉贝隆原理) )FOB A基本变形下应变能的一般表达式：基本变形下应变能的一般表达式：式中式中F广义力广义力( (力或力偶力或力偶)； 广义位移广义位移( (线位移或角位移线位移或角位移) ) 且且 F =C (力与位移成线性关系力与位移成线性关系)表明：表明：弹性体的应变能是一个弹性体的应变能是一个状态量状态量，仅决定于外力和位移，仅决定于外力和位移的最终值，与加载的过程无关。的最终值，与加载的过程无关。能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理1
9、4应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式( (克拉贝隆原理克拉贝隆原理) )的导出的导出 设在某弹性体上作用有外力设在某弹性体上作用有外力，在支承约束，在支承约束下，在相应的力下，在相应的力 方向产生的位移为方向产生的位移为，(i =1,2,n)。则物体的应变能为：则物体的应变能为：能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理15证明证明：弹性体在弹性体在 载荷作用下同时发生几种基本变形载荷作用下同时发生几种基本变形 ( (即组合变形）。且弹性体在变形过程中贮存的应变能只即组合变形）。且弹性体在变形过程中贮存的应变能只 取决于外力和位移的终值，与加力顺序无关。取决于外力和位移的终值，与加力顺序无关。因
10、此可假设因此可假设 按同一比例按同一比例 从零逐渐增加到终值，从零逐渐增加到终值，即外力增加的过程为即外力增加的过程为： 材料是线弹性的，则对应的位移也以材料是线弹性的，则对应的位移也以 的比例增加，相应的比例增加，相应的位移为：的位移为：式中式中 ：0 01 (1 (从从0 0线性增加到线性增加到1)1)能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理16如果如果 增加增加d ，则位移的相应增量为：，则位移的相应增量为：则外力则外力在以上位移增量上所作的功为（略去高阶微量）：在以上位移增量上所作的功为（略去高阶微量）：积分得积分得此式称为此式称为克拉贝隆原理克拉贝隆原理。能量法能量法/克拉贝隆原理克拉
11、贝隆原理17特别注意点特别注意点特别注意点特别注意点： 广义力广义力，可以是一个力，也可以是一个力偶，可以是一个力，也可以是一个力偶， 或者是一对力，或者是一对力偶或者是一对力，或者是一对力偶。 在所有力共同作用下在所有力共同作用下(因因 与全部作用力有关与全部作用力有关)，与广义力与广义力 相对应的沿着力的方向的广义位移。相对应的沿着力的方向的广义位移。 力力沿力矢方向的线位移沿力矢方向的线位移 力偶力偶力偶转向的角位移力偶转向的角位移 一对力一对力该对力两作用点沿力矢方向的相对线位移该对力两作用点沿力矢方向的相对线位移 一对力偶一对力偶该对力偶两作用截面间沿力偶转向的相对角位移该对力偶两作
12、用截面间沿力偶转向的相对角位移能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理18F 力：力：F，位移：，位移： 力：力：m，位移：，位移： FFLL+ 例子例子例子例子力：力：F，位移：，位移： 力：力：m，位移：，位移： mm m 能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理19关于应变能计算的讨论关于应变能计算的讨论关于应变能计算的讨论关于应变能计算的讨论1以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的应以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的应变形能的计算。变形能的计算。2应变能可以通过应变能可以通过外力功外力功计算，也可以通过杆件微段计算，也可以通过杆件微段上的上的内力功内力功等于微段的应变能，然后积
13、分求得整个等于微段的应变能，然后积分求得整个杆件上的应变能。杆件上的应变能。3 应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理 在应变能计算中不能使用在应变能计算中不能使用。 只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。例如：做功时，才可应用。例如：能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理204 应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理M(x)
14、 只产生弯曲转角FN (x) 只产生轴向线位移T(x) 只产生扭转角不计FS 产生的应变能21例例1 1 试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点A的的 竖直位移。已知竖直位移。已知E=200=200GPa, ,F =57.6=57.6kN。斜杆斜杆AB由两根由两根 50 50 5mm等边角钢组成，每根角钢的横截面面积等边角钢组成，每根角钢的横截面面积 ，横杆，横杆AC由两根由两根No.10No.10槽槽钢组成，每根槽钢钢组成，每根槽钢的横截面面积的横截面面积 。设各杆自重可以不计。设各杆自重可以不计。 F30ACB2m能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆
15、原理22解解:FA由节点由节点A的平衡条件求得的平衡条件求得AB杆的内力：杆的内力：AC杆的内力为：杆的内力为：杆系的应变能：杆系的应变能：设节点设节点A的竖直位移为的竖直位移为 ，则由，则由 得：得：能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理23例例2 2 图示等截面悬臂梁，图示等截面悬臂梁，E,A,I 已知。在自由端受集中力已知。在自由端受集中力F 和集和集中力偶中力偶m 作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑两作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑两种不同的加载次序，略去剪力的影响种不同的加载次序，略去剪力的影响。解解：(1)(1)集中力集中力F和集中力偶和集中力偶m同时由同
16、时由零开始按比例逐渐增加至最终值。零开始按比例逐渐增加至最终值。梁自由端的转角为：梁自由端的转角为：(方向与方向与m一致一致)F mL自由端的垂直位移为：自由端的垂直位移为：梁的应变能梁的应变能能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理24(2) (2) 先作用先作用F, ,加载时做功为加载时做功为： 再加力偶矩再加力偶矩m，外力所作的功为，外力所作的功为：梁的总应变能：梁的总应变能： 从这两种不同的加载次序来看，从这两种不同的加载次序来看，梁的应变能仅与载荷的始梁的应变能仅与载荷的始态和终态有关，而与加载次序无关。态和终态有关，而与加载次序无关。能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理F mL25
17、(3) (3) AB 梁的应变能也可通过截面上的内力来计算。梁的应变能也可通过截面上的内力来计算。 代入应变能的内力表达式：代入应变能的内力表达式： 弯矩方程：弯矩方程：能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理F mL26从结果中可以看到：第一、三项分别为从结果中可以看到：第一、三项分别为F和和m单独作用时的单独作用时的应变能，应变能，故故F、m同时作用在杆内所引起的应变能不等于各同时作用在杆内所引起的应变能不等于各载荷单独作用时所引起的应变能之和载荷单独作用时所引起的应变能之和。其原因是这两个载。其原因是这两个载荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼此都在对方引起的位荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼
18、此都在对方引起的位移上做了功（结果中的第二项即代表移上做了功（结果中的第二项即代表F和和m共同作用时在相共同作用时在相互影响下所做的功）。互影响下所做的功）。能量法能量法/克拉贝隆原理克拉贝隆原理F mL27三、卡氏定理三、卡氏定理卡氏第二定理卡氏第二定理卡氏第一定理卡氏第一定理线弹性结构的应变能，对于作用其上的某一广义外力的变化率(偏导数)，等于与该广义外力相应的广义位移。结构的应变能，对于结构上与某一广义外力相应的广义位移的变化率，等于该广义外力的值。能量法能量法/卡氏定理卡氏定理28卡氏定理的特殊形式卡氏定理的特殊形式(1)(1)横力弯曲的梁：横力弯曲的梁：(2) (2) 小曲率的平面曲
19、杆：小曲率的平面曲杆：式中式中 s 沿曲杆轴线的曲线长度沿曲杆轴线的曲线长度。能量法能量法/卡氏定理卡氏定理29(3) (3) 桁架桁架(4) 产生拉产生拉( (压压) )、扭转与弯曲的组合变形的圆截面等直杆、扭转与弯曲的组合变形的圆截面等直杆应用卡氏定理求出应用卡氏定理求出 为正时，表示该广义位移与为正时，表示该广义位移与其相应的广义力作用的方向一致；若为负值，则表示其相应的广义力作用的方向一致；若为负值，则表示方向相反。方向相反。能量法能量法/卡氏定理卡氏定理30 在所求位移处沿所求位移的方向上加上一个虚设的集中力在所求位移处沿所求位移的方向上加上一个虚设的集中力 或集中力偶或集中力偶 ；
20、或一对力或一对力偶，此时应变能为：；或一对力或一对力偶，此时应变能为：或或若所得位移为正，则表示与附加力的方向一致；若为负值，若所得位移为正，则表示与附加力的方向一致；若为负值， 则表示与虚加力的方向相反。则表示与虚加力的方向相反。附加载荷法附加载荷法由卡氏定理得：由卡氏定理得：能量法能量法/卡氏定理卡氏定理31例例5 图示刚架的图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，求为常量，不计轴力和剪力影响，求 B、 D 。解：解： 1. .求求 B( (1) )列弯矩方程，并求导列弯矩方程，并求导 DC段：段： CB段：段： BA段：段： 能量法能量法/卡氏定理卡氏定理32( (2) )求求 B例例
21、5 图示刚架的图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响为常量，不计轴力和剪力影响，求求 B、 D 。能量法能量法/卡氏定理卡氏定理33例例5 图示刚架的图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，求为常量，不计轴力和剪力影响，求 B、 D 。解：解： 2. .求求 D ( (1) )加附加力加附加力 DC： CB： BA： ( (2) )列弯矩方程列弯矩方程能量法能量法/卡氏定理卡氏定理34例例5 图示刚架的图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，求为常量，不计轴力和剪力影响，求 B、 D 。( (3) )求求 D能量法能量法/卡氏定理卡氏定理35例例6 图示弯曲刚度为图示弯曲刚度为EI的等截
22、面开口圆的等截面开口圆环受一对集中力环受一对集中力F作用。环的材料为线作用。环的材料为线弹性的，不计圆环内剪力和轴力对位移弹性的，不计圆环内剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求圆环的张的影响。试用卡氏第二定理求圆环的张开位移开位移 。 解：解：将一对力将一对力F视为广义力，视为广义力， 即即为相应的广义位移为相应的广义位移FRFjjR (1-cos )能量法能量法/卡氏定理卡氏定理36例例 7 图示梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI。用卡氏第二定理求中间铰B两侧截面的相对转角 。 不计剪力对位移的影响。 分析：在中间铰B两侧截面处各加一个外力偶矩 MB 。解：解：能量法能量法/卡氏定理卡
23、氏定理37梁的弯矩方程及其对MB的偏导数分别为（0 x l）AB 段 （0 x l），BC 段能量法能量法/卡氏定理卡氏定理38中间铰B两侧截面的相对转角 为结果为正，表示广义位移的转向和结果为正，表示广义位移的转向和MB的转向一致。的转向一致。能量法能量法/卡氏定理卡氏定理39例例88 悬臂梁受力如图所示，在两力F共同作用下，1,2两截面的挠度分别为y1 和 y2。试证明：y11FF2y2证明：证明：设作用在1, 2两截面的外力分别为F1 和 F2 ，且 F1 =F , F2F，则梁的应变能为U=U(F1, F2)。根据复合函数求导法则， 有能量法能量法/卡氏定理卡氏定理40注意：若结构上有
24、几个相同的外力时，在利用卡氏第二定理求注意：若结构上有几个相同的外力时，在利用卡氏第二定理求其中某一力的作用点沿该力方向的位移时，应将该力与其它力其中某一力的作用点沿该力方向的位移时，应将该力与其它力区分开。区分开。y11FF2y2能量法能量法/卡氏定理卡氏定理41能量法能量法/卡氏定理卡氏定理例例9 9 试用卡氏第二定理求图试用卡氏第二定理求图a所示刚架的支反力。已知所示刚架的支反力。已知两杆的弯曲刚度均为两杆的弯曲刚度均为EIEI，不计剪力和轴力的影响，不计剪力和轴力的影响。 eMa=5mq=10kN/ma2a2CDBA=50kNm(a)DqAa2Ca2BMeyxX(b)解：这是一个一次超
25、静定刚架。解：这是一个一次超静定刚架。取取B处的支反力处的支反力X为多余未知力。静定基如图为多余未知力。静定基如图(b)。42能量法能量法/卡氏定理卡氏定理BD段段各段弯矩及其对各段弯矩及其对X的偏导如下的偏导如下DqAa2Ca2BMeyxX(b)DC段段CA段段43注意到注意到B处的变形协调条件处的变形协调条件 By=0 及及卡氏第二定理卡氏第二定理解得解得进一步对图进一步对图(b)列平衡方程，列平衡方程，可得可得A处的支反力处的支反力能量法能量法/卡氏定理卡氏定理DqAa2Ca2BMeyxX(b)44第八章第八章 能量法能量法四、功的互等定理四、功的互等定理 位移互等定理位移互等定理45在
26、在Fj作用下引起的作用下引起的Fi方向上的位移方向上的位移四、功的互等定理四、功的互等定理 位移互等定理位移互等定理 功的互等定理功的互等定理 位移互等定理位移互等定理是材料力学中的普遍定理，是材料力学中的普遍定理，它说明材料服从胡克定律且在小变形的条件下，作用在杆件上它说明材料服从胡克定律且在小变形的条件下，作用在杆件上的不同点的力和位移间相互关系。的不同点的力和位移间相互关系。以图示梁为例证明如下：以图示梁为例证明如下：能量法能量法/互等定理互等定理461.先在先在1点作用点作用F1 再在再在2点作用点作用F2 外力功：外力功： 外力功：外力功： 应变能：应变能： 能量法能量法/互等定理互
27、等定理471.先作用先作用F1再作用再作用F22.先在先在2点作用点作用F2 再在再在1点作用点作用F1 外力功：外力功： 外力功：外力功： 应变能：应变能： 能量法能量法/互等定理互等定理481.先作用先作用F1再作用再作用F22.先作用先作用F2再作用再作用F1变形能只取决于力与位移的最终值，变形能只取决于力与位移的最终值， 与加载次序无关与加载次序无关 即：即：功的互等定理功的互等定理能量法能量法/互等定理互等定理49功的互等定理功的互等定理 结构的第一力系在第二力系所引起的弹性结构的第一力系在第二力系所引起的弹性位移上所做的功，等于第二力系在第一力系所位移上所做的功，等于第二力系在第一
28、力系所引起的弹性位移上所做的功。引起的弹性位移上所做的功。能量法能量法/互等定理互等定理50由功的互等定理由功的互等定理 位移互等定理位移互等定理注意：注意：1. .上述互等定理对于所有的上述互等定理对于所有的线性结构线性结构都适用。都适用。2. .力和位移应理解为力和位移应理解为广义力广义力和和广义位移。广义位移。当当F1=F2=F 时时 （力与位移成线性关系的结构）（力与位移成线性关系的结构）能量法能量法/互等定理互等定理51例例10 试求图示梁在试求图示梁在Me的跨中挠度的跨中挠度 yC 解：解： 1.当当Me作用时作用时 (第一力系第一力系)设想在设想在C点作用点作用F (第二力系第二
29、力系) 2. . 由功的互等定理由功的互等定理3.查表查表(附录附录C)能量法能量法/互等定理互等定理讨论：若应用位移互等定理任何求解？讨论：若应用位移互等定理任何求解？52例例11 已已知知简简支支梁梁在在均均布布载载荷荷 q 作作用用下下，梁梁的的中中点点挠挠度度 。求求梁梁在在中中点点集集中中力力P作作用用下下(见见图图)，梁梁的的挠挠曲曲线线与与梁变形前的轴线所围成的面积梁变形前的轴线所围成的面积 。能量法能量法/互等定理互等定理53解：由功的互等定理解：由功的互等定理能量法能量法/互等定理互等定理54讨讨论论关于互等定理关于互等定理? = ?能量法能量法/互等定理互等定理55讨讨论论关于互等定理关于互等定理? = ?能量法能量法/互等定理互等定理56讨讨论论百分表百分表 悬臂梁受力如图示。现用百分表测量悬臂梁受力如图示。现用百分表测量 梁在各处的挠度，请设计一实验方案。梁在各处的挠度，请设计一实验方案。移动百分表；移动百分表；固定百分表？固定百分表？关于互等定理关于互等定理能量法能量法/互等定理互等定理57
