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1、卡方分布概念及表和查表方法若n个相互独立的随机变量垃,$，,0，均服从标准正态分布(也称独立同分布于 标准正态分布)，则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量， 其分布规律称为卡方分布(chi-square distribute n)。中文名卡方分布外文名chi-square distribution另U称西格玛分布提出者Friedrich Robert Helmert提出时间1863应用学科统计学目录1简介2定义3性质4概率表简介2 2二_分布在数理统计中具有重要意义。丄_分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的, 后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基
2、人之一的卡皮尔逊(C KPearson)分别于 1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布。定义若n个相互独立的随机变量垃、$、5，均服从标准正态分布(也称独立同 分布于标准正态分布)，则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和加/构成一新的随机变量，其分布规律称为川 分布(chi-square distribution).a id卡方分布n- II其中参数：称为自由度，正如正态分布中均数或方差不同就是另一个正态分布一样，自由 度不同就是另一个厂分布。记为 J 或者（八a （其中二：一上，斤为限制 条件数）。v2卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度很大时
3、，止 分布近似为 正态分布。对于任意正整数x,自由度为：的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。性质1）厂分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数 的增大，我 分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1。2）廿 分布的均值与方差可以看出，随着自由度的增大，廿分布向正无穷方向延伸 （因为均值越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差人越来越大）。3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。4）若互相独立，贝y：厂门一廿服从厂分布，自由度为门一5）.I 分布的均数为自由度，记为E（:厂）=。6）廿分布的方差为2倍的自由度（），记为D（）=。概率表分布不象
4、正态分布那样将所有正态分布的查表都转化为标准正态分布去查，在2 2 2 2的概率值是二 值以上丄 分布曲线以下的概率。由于二 分布概率表中要列出很多二 分 布的概率值，所以二 分布中所给出的P值就不象标准正态分布中那样给出了 400个不同 的P值，而只给出了有代表性的13个值，因此，分布概率表的精度就更差，不过给出 了常用的几个值，足够在实际中使用了。2 2查分布概率表时，按自由度及相应的概率去找到对应的值。如上图所示的单侧 概率0.05(7)=14.1的查表方法就是，在第一列找到自由度7这一行，在第一行中找到概 率0.05这一列，行列的交叉处即是14.1。表中所给值直接只能查单侧概率值，可以
5、变化一下来查双侧概率值。例如，要在自由度 为7的卡方分布中，得到双侧概率为0.05所对应的上下端点可以这样来考虑：双侧概率指 的是在上端和下端各划出概率相等的一部分，两概率之和为给定的概率值，这里是0.05， 因此实际上上端点以上的概率为0.05/2=0.025，用概率0.025查表得上端点的值为16,记 为；：0.05/2(7)=16。下端点以下的概率也为0.025,因此可以用0.975查得下端点为1.69, 记为1-0.05/2(7)=1.69。当然也可以按自由度及八值去查对应的概率值，不过这往往只能得到一个大概的结 果，因为八分布概率表的精度有限，只给了 13个不同的概率值进行查表。例如
6、，要在自 由度为18的分布查找=30对应的概率，则先在第一列找到自由度18,然后看这一行可以发现与30接近的有28.9与31.5，它们所在的列是0.05与0.025，所以要查的概率 值应于介于0.05与0.025之间，当然这是单侧概率值，它们的双侧概率值界于0.1与0.05 之间。如果要更精确一些可以采用插值的方法得到，这在正态分布的查表中有介绍。为什么从正态总体中抽取出的样本的方差服从八分布？在抽样分布理论一节里讲到，从正态总体进行一次抽样就相当于独立同分布的n个正 态随机变量1, 2,，5的一次取值，将n个随机变量针对总体均值与方差进行标准化 得(i=1,n),显然每个都是服从标准正态分布
7、的，因此按照厂 分布的定义，应该服从参数 为：的厂分布。如果将总体中的方差02用样本方差S2代替，它是否也服从厂分布呢？理论上可以证 明，它是服从，分布的，但是参数不是n而是n-1 了，究其原因在于它是n-1个独立同 分布于标准正态分布的随机变量的平方和。我们常常把一个式子中独立变量的个数称为这个式子的自由度”，确定一个式子自由度 的方法是：若式子包含有n个变量，其中k个被限制的样本统计量，则这个表达式的自由 度为n-k。比如中包含1, 2,，n这n个变量，其中1-n-1相互独立，n为其余变 量的平均值，因此自由度为n-1。附卡方表n/P0.9950.990.9750.950.900.750.
8、500.250.100.050.0250.010.00510.020.100.451.322.713.845.026.637.8820.010.020.020.100.210.581.392.774.615.997.389.2110.6030.070.110.220.350.581.212.374.116.257.819.3511.3412.8440.210.300.480.711.061.923.365.397.789.4911.1413.2814.8650.410.550.831.151.612.674.356.639.2411.0712.8315.0916.7560.680.871.24
9、1.642.203.455.357.8410.6412.5914.4516.8118.5570.991.241.692.172.834.256.359.0412.0214.0716.0118.4820.2881.341.652.182.733.405.077.3410.2213.3615.5117.5320.0921.9691.732.092.703.334.175.908.3411.3914.6816.9219.0221.6723.59102.162.563.253.944.876.749.3412.5515.9918.3120.4823.2125.19112.603.053.824.575
10、.587.5810.3413.7017.2819.6821.9224.7226.76123.073.574.405.236.308.4411.3414.8518.5521.0323.3426.2228.30133.574.115.015.897.049.3012.3415.9819.8122.3624.7427.6929.82144.074.665.636.577.7910.1713.3417.1221.0623.6826.1229.1431.32154.605.236.277.268.5511.0414.3418.2522.3125.0027.4930.5832.80165.145.816.
11、917.969.3111.9115.3419.3723.5426.3028.8532.0034.27175.706.417.568.6710.0912.7916.3420.4924.7727.5930.1933.4135.72186.267.018.239.3910.8613.6817.3421.6025.9928.8731.5334.8137.16196.847.638.9110.1211.6514.5618.3422.7227.2030.1432.8536.1938.58207.438.269.5910.8512.4415.4519.3423.8328.4131.4134.1737.574
12、0.00218.038.9010.2811.5913.2416.3420.3424.9329.6232.6735.4838.9341.40228.649.5410.9812.3414.0417.2421.3426.0430.8133.9236.7840.2942.80239.2610.2011.6913.0914.8518.1422.3427.1432.0135.1738.0841.6444.18249.8910.8612.4013.8515.6619.0423.3428.2433.2036.4239.3642.9845.562510.5211.5213.1214.6116.4719.9424
13、.3429.3434.3837.6540.6544.3146.932611.1612.2013.8415.3817.2920.8425.3430.4335.5638.8941.9245.6448.292711.8112.8814.5716.1518.1121.7526.3431.5336.7440.1143.1946.9649.642812.4613.5615.3116.9318.9422.6627.3432.6237.9241.3444.4648.2850.992913.1214.2616.0517.7119.7723.5728.3433.7139.0942.5645.7249.5952.343013.7914.9516.7918.4920.6024.4829.3434.8040.2643.7746
