《各种圆定理总结包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆》由会员分享,可在线阅读,更多相关《各种圆定理总结包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆(20页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、托勒密定理一些圆定理.doc定理图定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出,圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文:圆的内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质 定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”,实出自依巴谷(Hipparchus)之手,托勒密只是从他的书中摘出。证明一、(以下是推论的证明,托勒密定理可视作特殊情况。) 在任意四边形ABCD中,作ABE使BAE=CAD ABE= ACD 因为ABEACD
2、所以 BE/CD=AB/AC,即BEAC=ABCD (1) 而BAC=DAE,ACB=ADE 所以ABCAED相似. BC/ED=AC/AD即EDAC=BCAD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=ABCD+ADBC 又因为BE+EDBD (仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时,等号成立,即“托勒密定理”) 所以命题得证 复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数,则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是:(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式: (a b)(c d) + (a d)(b c)
3、= (a c)(b d) ,两边取模,运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上,托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上,圆周角BAC = BDC,而在AB上,ADB = ACB。 在AC上取一点K,使得ABK = CBD; 因为ABK + CBK = ABC = CBD + ABD,所以CBK = ABD。 因此ABK与DBC相似,同理也有ABD KBC。 因此AK/AB = CD/BD,且CK/BC = DA/BD; 因此AKBD = AB
4、CD,且CKBD = BCDA; 两式相加,得(AK+CK)BD = ABCD + BCDA; 但AK+CK = AC,因此ACBD = ABCD + BCDA。证毕。 三、 托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)已知:圆内接四边形ABCD,求证:ACBDABCDADBC 证明:如图1,过C作CP交BD于P,使1=2,又3=4,ACDBCP得AC:BC=AD:BP,ACBP=ADBC 。又ACB=DCP,5=6,ACBDCP得AC:CD=AB:DP,ACDP=ABCD 。得 AC(BPD
5、P)=ABCDADBC即ACBD=ABCDADBC 推论1.任意凸四边形ABCD,必有ACBDABCD+ADBC,当且仅当ABCD四点共圆时取等号。 2.托勒密定理的逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆、 推广托勒密不等式:四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积,取等号当且仅当共圆或共线。 简单的证明:复数恒等式:(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),两边取模, 得不等式ACBD|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=ABCD+BCAD 注意: 1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-
6、d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。 2.四点不限于同一平面。 欧拉定理:在一条线段上AD上,顺次标有B、C两点,则ADBC+ABCD=ACBD塞瓦定理简介 塞瓦(Giovanni Ceva,16481734)意大利水利工程师,数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的直线论一书,也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。 具体内容塞瓦定理 在ABC内任取一点O, 直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介 ()本题可利用梅涅劳斯定理证明: ADC被直线BOE所截, (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=
7、1 而由ABD被直线COF所截, (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 :即得:(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 ()也可以利用面积关系证明 BD/DC=SABD/SACD=SBOD/SCOD=(SABD-SBOD)/(SACD-SCOD)=SAOB/SAOC 同理 CE/EA=SBOC/ SAOB AF/FB=SAOC/SBOC 得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F, 根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA)/(CD*
8、ctgB)*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(BF*ctgA)=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点。 可用塞瓦定理证明的其他定理; 三角形三条中线交于一点(重心):如图5 D , E分别为BC , AC 中点 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1 且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点 此外,可用定比分点来定义塞瓦定理: 在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点,又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是=1。(注意
9、与梅涅劳斯定理相区分,那里是=-1) 塞瓦定理推论1.设E是ABD内任意一点,AE、BE、DE分别交对边于C、G、F,则(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 因为(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1,(塞瓦定理)所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K(K为未知参数)且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K(K为未知参数)又由梅涅劳斯定理得:(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 2.塞瓦定理角元形式 AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是: (sinBAD/sinDA
10、C)*(sinACF/sinFCB)*(sinCBE/sinEBA)=1 由正弦定理及三角形面积公式易证 3.如图,对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F,直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是: (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1 由塞瓦定理的角元形式,正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。 4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,根据塞瓦定理逆定 理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA)/(CD*ctgB)*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(AE*ctgB
11、)=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点。梅涅劳斯定理 梅涅劳斯定理证明梅涅劳斯(Menelaus)定理(简称梅氏定理)是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出:如果一条直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 或:设X、Y、Z分别在ABC的BC、CA、AB所在直线上,则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)= 证明一:过点A作AGBC交DF的延长线于G, 则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得:(AF/FB)(BD/DC)(C
12、E/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1 证明二:过点C作CPDF交AB于P,则BD/DC=FB/PF,CE/EA=PF/AF 所以有AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=1 它的逆定理也成立:若有三点F、D、E分别在ABC的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1,则F、D、E三点共线。利用这个逆定理,可以判断三点共线。 梅涅劳斯(Menelaus)定理证明三:过ABC三点向三边引垂线AABBCC, 所以AD:DB=AA:BB,BE:EC=BB:CC,CF:FA=CC:AA 所以(AF/FB)(BD/DC
13、)(CE/EA)=1 证明四:连接BF。 (AD:DB)(BE:EC)(CF:FA) =(SADF:SBDF)(SBEF:SCEF)(SBCF:SBAF) =(SADF:SBDF)(SBDF:SCDF)(SCDF:SADF) =1 此外,用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆: 在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点,又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是L、M、N三点共线的充要条件是=1。 第一角元形式的梅涅劳斯定理 如图:若E,F,D三点共线,则 (sinACF/sinFCB)(sinBAD/sinDAC)(sinCBA/sinABE)=1 即图中
14、的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 该形式的梅涅劳斯定理也很实用 第二角元形式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点O,且EDF共线,则(sinAOF/sinFOB)(sinBOD/sinDOC)(sinCOA/sinAOE)=1。(O不与点A、B、C重合) 记忆ABC为三个顶点,DEF为三个分点 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 (顶到分/分到顶)*(顶到分/分到顶)*(顶到分/分到顶)=1 空间感好的人可以这么记:(上1/下1)*(整/右)*(下2/上2)=1 实际应用为了说明问题,并给大家一个深刻印象,我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点,各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空,然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩,最后回到出发点,直升机就停在那里等待我们回去。