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1、第二章 土壤水分运动基本方程如前所述，达西定律是由达西（Darcy，Henry 1856）通过饱和砂柱渗入实验得出，后由Richards（1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h的函数，即 （2-2-1）式中：为水势梯度； k（h）为导水率，是土壤负压h的函数； q 为水流通量或流速。Richards方程垂向一维方程为注意：H=hz，垂直坐标向上为“+”；向下时为“”。由于k（h）受滞后影响较大，上式仅合用于单纯的吸湿或脱湿过程。若将导水率作为容积含水率函数，即以k（）替代人k（h），则可避免滞后作用的影响。一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可合用，即水流通量与势能梯度成正
2、比。但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头涉及了由该点在地下水面如下深度来拟定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来拟定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只涉及重力势和基质势。因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表达。一维Richards方程的几种形式：根据（K=CD）得： 第一节 直角坐标系中土壤水分运动基本方程一、基本方程的推导土壤水分运动一般遵循达西定律，且符合质量守恒的持续性原理。土壤水分运动基本方程可通过达西定律和持续方程进行推导。如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体ab
3、cdefgh，其体积为，由于该立方体很小，在各个面上的每一点流速可以当作是相等的，设其流速为，在tt+t时段内，流入立方体的质量为（3个面流入）： （2-2-2）流出立方体的质量为（3个面流出）： （2-2-3）式中：水的密度；分别表达微分体x、y、z方向长度；，分别表达水流经微分体后，其流速在x、y、z方向的变化值。由式(2一22）、式（223）之差可求得流入和流出立方体的质量差： （224）设为立方体内土壤含水率，则在t时间内立方体内质量变化又可写为 （225）根据质量平衡原理（流入量流出量储存量变化量），式（324）、式（325）应相等，即 （2-2-6）根据达西定律得：， （2-2-7
4、）式中k（）土壤水力传导度，为含水率的函数；H总土水势，为基质势与重力势之和（Hhz）。因此，式（226）可以写作如下形式： （2-2-8）上式可以简写为 （2-2-9）式（228）或式（229）为土壤水分运动基本方程。在饱和土壤中，含水量和基质势均为常量。水力传导度也为常量，常称渗入系数，则方程（228）可写为 （2210）或写作 （2210） （2211）式中：2拉普拉斯算子。式（2210）或式（2210）为饱和土壤水流的拉普拉斯方程。二、基本方程的不同形式为运用基本方程分析多种实际问题的以便，可将基本方程改写为多种体现形式。为简便起见，如下均以一维垂向土壤水分运动为例，给出基本方程的不同
5、体现形式。（一）以含水率为变量的基本方程由式（228）可得一维垂向土壤水分运动的基本方程为 （2212）式中：H总土水势； z为水流方向坐标，取z向上为正。由于H=h十z，因此上式可写作 （2213）式(2213）为以为变量的基本方程，将代入式（2213）得：令，则式（2213）可以写成（一维垂向土壤水分运动方程）： （2214）在水平运动的状况下，重力项等于0，因此，其形式与Fick扩散定律相似。式（2214）具有扩散方程的形式，故将D（）称为扩散度。 （2214）Fick定律：自由水中溶质的分子扩散通量符合Fick定律：式中：J为溶质的扩散通量； D为溶质的扩散系数； 为溶质的浓度梯度。（
6、二）以基质势h为变量的基本方程由于 ，则式（2214）可以写成： （2215）式中：c（h）比水容量（也称容水度），c（h）=，表达单位基质势变化时含水率变化。（三）以参数v为因变量的基本方程采用Kirchhoff变换，令则 由式（2-2-15）得： （2216）式中hc土壤的进气值，即土壤含水率开始不不小于饱和含水率时的负压值。此外，；在非饱和区： 在饱和区： 且由于 ，因此 ；则方程式（2216）为：（四）以位置坐标z为变量的土壤水运动方程以z为变量，则z为、t的函数，z（，t）为未知函数。已知=（z，t），当处，可以解出z= z（，t），即14对z，t分别求导数：，于是 及将以上式子代入
7、方程（2214）得： （2217）（五）以参数u为因变量的土壤水运动方程定义式中：初始含水率； ； 饱和含水率。由式（2-2-14）得： 将代入上式得： 因此 （2-2-18）以上各式中式（2214）、式（2215）是二种常常采用的形式，形式的选定取决于要解决问题的边界条件和初始条件。以含水率为因变量的基本方程常用于求解均质土层或全剖面为非饱和流动问题，这种方程形式对于层状土壤或求解饱和非饱和流问题不合用；以负压水头h为因变量的基本方程是应用较多的一种形式，可合用于饱和非饱和水流求解及层状土壤的水分运动分析计算，但由于非饱和土壤水的导水率k（h）及容水度c(h)，受滞后影响较大，计算中参数选用
8、不当会导致较大误差；以v，u为因变量基本方程事实上分别相称于以负压水头h和含水率为因变量的基本方程，在某些状况下由于经代换后方程较为简朴，易于求解；以坐标为因变量的基本方程根据定解条件需规定解较简朴的土壤水分运动问题。以上为直角坐标系中土壤水分运动的基本方程，求解某些土壤水分运动问题时，采用柱坐标系也许更以便。第二节 柱坐标系中土壤水分运动基本方程在推导柱坐标系中的基本方程时，措施同直角坐标系，同样可用达西定律与持续方程相结合的措施导出。若以z轴为轴的柱坐标系，根据达西定律，在此坐标系中可表达为：式中：r、z分别表达柱半径，角坐标和垂直坐标（图222） q r、q、qz相应于r、z三个方向的通
9、量； H总水势。下面运用质量守恒来推导持续方程。t时段内，在r方向的流入量为zt，流出量为，则流入与流出量之差（忽视高阶无穷小量）为 （2-2-19）同理，在方向流入流出量之差为 （2-2-20）在z方向土壤水分流入流出量之差为 （2-2-21）上述三个方向流入和流出单元体的水量差总计为 （2-2-22）单元体体积应为 ，略去高阶无穷小量后为rzt，在t时间内单元体内水分增量为 （2-2-23）根据质量守恒原理武（3222）应与式（3223）相等，即 （2-2-24）式（2224）为柱坐标系中土壤水分运动的持续方程。将式（2218）代入上式，即得柱坐标系中土壤水分运动基本方程： （2-2-25
10、）以总水势H=h+z，水容度c=，以及导水率k（），扩散度D（）等代入，基本方程可表达为 （2-2-26）对于平面轴时称问题，上式可改写为 （2-2-26）同理可推得以x（或y）轴为轴的柱坐标系的基本方程： （2-2-27）有关球坐标系中的基本方程应用较少，推导措施同上，这里不再论述。第三节 土壤水分运动基本方程的定解条件土壤水运动基本方程的定解条件涉及初始条件和边界条件，为了简朴起见，将以直角坐标系中基本方程常用形式为例进行论述。（一）初始条件相应于前式（1）、式（15）的初始条件分别如下式体现： （2-2-28） （2-2-29）脚标“i”表达初始已知量。初始条件：t=0时剖面上、h的分布已知。（二）边界条件边界条件一般有一类边界、二类边界、三类边界三种。1一类边界条件（变量已知的边界1）对干式（2214）、式（2215）的一类边界的体现式为 （2-2-30） （2-2-31）脚标“0”均表达一类边界上的值；z0为一类边界的坐标。在一维垂向土壤水分运动中，一类边界的状况发生在压力入渗（地表形成水层）时，地表含水率达到饱和含水率，或当强烈蒸发时，表土达到风干土含水率的状况。2二类边界条件（边界2上水流通量已知的状况）相应于式（2214）、式（2215）体现式为 （2-2-32）
