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1、导数中的零点问题1 已知函数 .(I)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的取值；(H)求函数的单调区间；(山)记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围2已知函数(I)若的图像与直线相切，求(H)若且函数的零点为 ，设函数试讨论函数的零点个数 . (为自然常数)3已知函数 .( 1)若时，讨论函数的单调性；2)若函数在区间上恰有 2 个零点，求实数的取值范围4 .已知函数(为自然对数的底数，)，在处的切线为.(1) 求函数的解析式；(2) 在轴上是否存在一点，使得过点可以作的三条切钱若存在，请求出横坐标为整数 的点坐标；若不存在，请说明理由.5.已知函数fX2x2lnx aaR, a
2、 0 .(1 )讨论函数f x的单调性；(2) 若函数f x有最小值，记为g a，关于a的方程 g a a21 m有二9a6.已知函数f x x 2ax (a R ,e为自然对数的底数 ).e(I)求函数f x的极值;(H)当 a1时，若直线i : ykx 2与曲线y f x没有公共点，k的最大值7 .已知函数(为自然对数的底数)(1) 求曲线在点处的切线方程；(2) 当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3 )设，当函数有且只有一个零点时，求实数的取值范围8 已知函数 .( 1 )若函数有两个零点，求实数的取值范围；( 2 )若函数有两个极值点，试判断函数的零点个数9 已知函数 .(I)讨
3、论的单调性;(H)是否存在实数，使得有三个相异零点若存在，求出的值；若不存在，说明理由10 已知函数 .（ 1 ）求函数的单调区间；（ 2 ）记，当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围11 已知函数 .（ 1 ）讨论的导函数零点的个数；（ 2 ）若函数的最小值为，求的取值范围(1)证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切;(2) 若不等式有且只有两个整数解，求的范围.13 .已知函数 fxQ9ax3 bx2 3x a,bR 在点1, f 1处的切线方程为y 20 .(1)求函数 fx的解析式；(2)若经过点M 2,m可以作出曲线y f x的三条切线，求实数m的取值范围.14 已知函数 f
4、 xx22- aln x, a R处的切线方程；1.52.1.946.（ 1 ）若 f x 在 x 2 处取极值，求 f x 在点 1, f 1 （ 2）当 a 0时 ，若 f x 有唯一的零点 x0 ，求 x0 注 x 表示不超过 x 的最大整数，如 0.6 0, 2.1 2, 参考数据： ln2 0.693,ln3 1.099,ln5 1.609,ln715 已知函数f xex m xln x m 1 x ；m1f x 0,（ 1 ）若，求证：在 上单调递增；2 ）若 g x =f x ，试讨论 g x 零点的个数16 已知函数 f x eax ?sinx 1 ，其中 a 0 (I) 当
5、a 1 时，求曲线 y f x 在点 0， f 0 处的切线方程；(n)证明： f x在区间0,上恰有2个零点.参考答案1 .(i)；(n)当时，减区间为；当时，增区间为，减区间为；(皿).【解析】【分析】(1) 先求出函数f ( x)的定义域和导函数 f( x)，再由两直线垂直的条件可得f ( 1)=-3，求出a的值；(2) 求出f ( x)，对a讨论，由f ( x) 0和f ( x)v 0进行求解，即判断出函数的 单调区间；(3) 由(1)和题意求出()的解析式，求出()，由() 0和 ()v 0g xg x g xg x进行求解， 即判断出函数的单调区间， 再由条件和函数零点的几何意义列
6、出不等式组，求出b 的范围【详解】(I)定义域，()当，单减区间为当时令，单增区间为；令，单减区间为 当时，单减区间当时，减区间为；当时，增区间为，减区间为；(m)令，令，；令，是在上唯一的极小值点，也是唯一的最小值点在上有两个零点只须【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及几何意义、 函数零点等基础知识， 注意求出 函数的定义域，考查计算能力和分析问题的能力2（ 1 ）（ 2）有两个不同的零点【解析】分析： （I）设切点坐标为，故可以关于的方程组，从该方程组解得.（H）因，故为减函数，结合可得的零点.又是分段函数，故分别讨论在上的单调性，结合 利用零点存在定理得到有两个不同的零点详
7、解：（I）设切点，所以，故，从而又切点在函数上，所以即，故，解得， （H）若且函数的零点为，因为，为上的减函数，故当时，因为，当时，；当时，则在上单调递增，上单调递减，则,所以在上单调递减当时，所以在区间上单调递增又，且；又，所以函数在区间上存在一个零点，在区间上存在一个零点综上，有两个不同的零点点睛：处理切线问题的核心是设出切点坐标，因为它的横坐标沟通了切线的斜率和函数在该值处的导数 零点问题需要利用导数明确函数的单调性， 再结合零点存在定理才能判断函数零点的个数3（ 1 ）见解析；（ 2 ）【解析】分析： （ 1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得 函数增区间，
8、求得的范围，可得函数的减区间；（ 2）分三种情况讨论的范围，分别利用导数研究函数的单调性， 结合零点存在定理与函数图象， 可筛选出函数在区间上恰有 2 个零点的 实数的取值范围 .详解：（ 1） 当时，此时在单调递增； 当时， 当时，恒成立，此时在单调递增； 当时，令在和上单调递增；在上单调递减； 综上：当时，在单调递增； 当时，在和上单调递增； 在上单调递减；（ 2）当时，由（ 1）知，在单调递增， ，此时在区间上有一个零点，不符；当时，在单调递增； ，此时在区间上有一个零点，不符； 当时，要使在内恰有两个零点，必须满足在区间上恰有两个零点时， 点睛：导数及其应用通常围绕四个点进行命题第一个
9、点是围绕导数的几何意义展开， ；第 二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值 （ 最值 ） 展开，设计求函数的单调区间、 极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、 化归与转化思想等数学思想方法； 第三个点是围绕导数研究不等式、 方程展开， 涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力4（ 1 ）（ 2）不存在横坐标为整数的点，过该点可以作的三条切线.【解析】分析： （1） 求出f （ x）的导数，由切线方程可得切线斜率和切点坐标，可得a=2 ,即可得到 f（ x）
10、的解析式； （2） 令，设图象上一点， ，该处的切线 ，又过点则 过作3条不同的切线，则方程有3 个不同实根 , 进而构造，图象与轴有3 个不同交点详解：（1）, 由题意可知，即（2）,令，设图象上一点，该处的切线又过点则过作3条不同的切线，则方程关于有3个不同实根令，图象与轴有 3个不同交点（1 ）当，是单调函数，不可能有3个零点（2 ）当，或时，当时，所以在单调递减，单调递增，单调递减曲线与轴有个交点，应该满足，当，又，所以无解（3 ）当，或时，当时，在单调递减，单调递增，单调递减，应满足，当，又，无解，综上，不存在横坐标为整数的点，过该点可以作的三条切线点睛：（1）函数零点个数（方程根的
11、个数）的判断方法：结合零点存在性定理，利用函数的单调性、 对称性确定函数零点个数；利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零占个数八、I（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决5.( 1 )当 a 0时，fx在0,上递减，当a0时,f x在0, a上递减，在JT,上递增；11(2)In2 In 3m_In3 .332分a【解析】 试题分析:(1 )函数求导得f x2x0和a0两种情况讨论即可；ax（2）结合（1 ）中的单调性可得最值g a1Ina，即m aIn a2(a 0)，令F a a In a （a 0）,求导得单调性得值域即可9a试题解析：22x(1)f x(x0
12、),a x当a0时，f x 0，知f x 在 0,上是递减的；2x.a x a当a0时，f x，知fx在0).,a上是递减的，在-a ,ax上递增的x *JmV(2)由(1)知，a 0 ,fminfa1ln a ,即ga1 Ina方程22g aa1 m，即 m a In a(a0)，9a9a2 (123a13a 2令Faa lna(a0)，则 F a1=A9aa9a 29a2在2知Fao, 1和-2 ,是递增的，1 ,_是递减的，3333i c， l a5F a极大F 11ln3F极小F2-1In2In 33333依题意得1ln2In 3 m1 ln3 .33点睛:已知函数有零点求参数常用的方法和思路：(1 )直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.
