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1、新课标高中理科数学基础知识手册一.集合1.元素与集合的含义：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.2.集合的元素性质： 确定性是指对给定的集合，它的元素必须是确定的；互异性是指集合中的元素是不重复出现的；无序性是指集合中的元素是没有顺序的.3.元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作.4.常用数集的记法：全体非负整数组成的集合（自然数集）记作N；全体正整数组成的集合（正整数集）记作N*或N；全体整数组成的集合（整数集）记作Z；全体有理数组成的集合（有理数集）记作Q；全体实数组成的集合（实
2、数集）记作R. 5.集合的表示方法： 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法；用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.6.集合间的基本关系： 对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集，记作（或）；如果且，则称集合A与集合B相等，记作AB；如果，但存在元素，且，则称集合A为集合B的真子集，记作（或）. 7.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集.8.并集
3、：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AB，即ABx|xA，或xB.9.交集： 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作AB，即ABx|xA，且xB.10.补集： 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，则称这个集合为全集，通常记作U.对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作，即.11.集合的基本运算性质： A ； A ； A ； ； U ； A ； A B .12.区间的概念： 满足不等式axb的实数x的集合用区间表示为 a，b； 满足不等式axb的实数x的集合用区
4、间表示为（a，b）； 满足不等式axb的实数x的集合用区间表示为 a，b）； 满足不等式axb的实数x的集合用区间表示为（a，b； 满足不等式xa的实数x的集合用区间表示为 a，）； 满足不等式xa的实数x的集合用区间表示为（a，）； 满足不等式xb的实数x的集合用区间表示为（，b； 满足不等式xb的实数x的集合用区间表示为（，b）；二.常用逻辑用语1.逻辑联结词：“或”、“且”、“非”.2.判断命题，真假的方法：真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假原命题：若p则q互逆互逆互否互否互为逆否为逆否互逆命题：若q则p否命题：若p则q逆否命题：若q则p3.四种命题及其关系：4.四种命题的真假关系
5、：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.5.常见结论的否定形式：原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有（）个小于不小于至多有个至少有（）个对所有，成立存在某，不成立或且对任何，不成立存在某，成立且或6.充分条件与必要条件：若pq，则p是q 的充分条件，q是p的必要条件.若pq 且qp，则 p是q的充要条件.7.全称命题及其否定：p：；8.特称命题及其否定：p：；三.函数概念与基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)1.函数的概念： 设A，B是非空的数集，如果按
6、照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，则称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.2.函数的表示法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系； 列表法：用表格表示两个变量之间的对应关系.3.映射的概念： 设A，B是两个非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，则称对应f：A
7、B为从集合A到集合B的一个映射.4.函数的单调性： 对于某个区间D上任意两个自变量x1，x2，如果当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在区间D上是增函数；如果当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在区间D上是减函数.5.函数的最大（小）值： 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对任意xI，都有f(x)M，且存在x0I，使得f(x0)M，则称M是函数yf(x)的最大值；如果存在实数m满足：对任意xI，都有f(x)m，且存在x0I，使得f(x0)m，则称m是函数yf(x)的最小值.6.函数的奇偶性： 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f
8、(x)f(x)，则称函数f(x)为偶函数； 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，则称函数f(x)为奇函数. 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.7.方根的概念：一般地，如果xna，那么x叫a的n次方根，其中n1且nN.8.根式的概念： 式子叫做根式，其中 n 叫做根指数， a 叫做被开方数.9.根式的性质：（1） a ；（2）当n是奇数时， a ；当n是偶数时， |a| .10.分数指数幂的意义：（1）正数的正分数指数幂的意义： (a0，m，nN，且n1)；（2）正数的负分数指数幂的意义： (a0，m，nN，且n1)；（3）0的正分数指数幂等于 0
9、，0的负分数指数幂没有意义.11.有理数指数幂的运算性质：（1） （； （2）；（3）.有理指数幂的运算同样适用于无理数指数幂.12.指数函数的概念： 形如的函数叫做指数函数. 13.指数函数yax（a0，且a1）的图象和性质：0a1 a1图象xyO1yxO1定义域 （0，） （0，）值域 R R 函数值分布当x0时，0y1；当x0时，y1；当x0时，y1；当x0时，y1；当x0时，0y1；当x0时，y1；单调性减函数增函数14.对数的概念：如果axN（a0，且a1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.以10为底的对数叫做常用对数，并把log10
10、N简记为lgN；以e2.71828为底的对数叫做自然对数，并把logeN简记为lnN.15.对数与指数的关系： 当a0且a1时，axNxlogaN；负数和零没有对数.logal0； logaa1； a logaNN（a0，且a1）.16.对数的运算性质：如果a0，且a1，M0，N0，那么：（1）； （2）； （3）； （4）.17.对数的换底公式：（a0，且a1；c0，且c1；b0）.18.对数函数的概念： 函数（a0，且a1）叫做对数函数，其定义域是（0，），值域是R .19.对数函数（a0，且a1）的图象和性质：yxO1xyO10a1 a1图象定义域（0，） （0，）值域 R R函数值分布
11、当x1时，y0；当0x1时，y0；当x1时，y0；当x1时，y0；当0x1时，y0；当x1时，y0；单调性减函数增函数20.反函数：xyOa0a1a10a1 对数函数和指数函数互为反函数.21.幂函数的概念： 一般地，把函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数.22.幂函数在第一象限的图象特征:23.函数的零点：对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.确定函数的零点就是求方程f(x)0的实根.24.函数零点的存在性原理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间（a，b）内有零点，即存在x0(a
12、，b)，使得f(x0)0，这个x0也就是方程f(x)0的根.25.函数零点的性质：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间（a，b）上至少有一个零点.若曲线通过零点时变号，这样的零点称为变号零点，若曲线通过零点时不变号，这样的零点称为不变号零点.26.二分法：对于在区间a，b上连续不断，且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.27.用二分法求函数零点近似值的步骤： （1）确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给
13、定精确度； （2）求区间（a，b）的中点c； （3）计算f(c).若f(c)0，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0，则令bc；若f(c)f(b)0，则令ac. （4）判断是否达到精确度，若|ab|，则得到零点近似值a（或b），否则重复（2）（4）.28.幂、指、对函数的增长差异：对于指数函数yax(a1)，对数函数ylogax(a1)和幂函数yxn(n0)，在区间(0，)上，总存在一个x0，使当xx0时，logaxxnax.29.幂、指、对函数的衰减差异：对于指数函数yax(0a1)，对数函数ylogax(0a1)和幂函数yxn(n0)，在区间(0，)上，总存在一个x0，使当xx0时，logaxaxxn.30.常用的函数模型：常用的函数模型有：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及分段函数等.31.用拟合函数解决应用性问题的基本过程：收集数据画散点图选择函数模型求函数模型检验用函数模型解释实际问题YesNo
