《中考数学二轮重难点复习讲义专题72 三角形中的新定义问题（原卷版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮重难点复习讲义专题72 三角形中的新定义问题（原卷版）（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 例题精讲【例1】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）如图，在ABC中，ABAC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60 ；（2）对于0A180，A的正对值sadA的取值范围是 ；（3）如图，已知cosA，其中A为锐角，试求sadA的值变式训练【变1-1】定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三
2、角形为“倍角三角形”若ABC是“倍角三角形”，A90，BC4，则ABC的面积为 【变1-2】定义：如果三角形的两个内角与满足+2100，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”（1）如图1，ABC中，ACB80，BD平分ABC求证：ABD为“奇妙三角形”（2）若ABC为“奇妙三角形”，且C80求证：ABC是直角三角形；（3）如图2，ABC中，BD平分ABC，若ABD为“奇妙三角形”，且A40，直接写出C的度数【例2】定义：如果三角形有两个内角的差为60，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”【理解概念】（1）顶角为120的等腰三角形 “准等边三角形”（填“是”或“不是”）【巩固新知】（2）已知AB
3、C是“准等边三角形”，其中A35，C90求B的度数【解决问题】（3）如图，在RtABC中，ACB90，A30，点D在AC边上，若BCD是“准等边三角形”，求BD的长变式训练【变2-1】新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图所示，ABC中AF、BE是中线，且AFBE，垂足为P，像ABC这样的三角形称为“中垂三角形”，如果ABE30，AB6，那么此时AC的长为 【变2-2】【了解概念】定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形为半线三角形，这条中线叫这条边的半线【理解运用】（1）如图1，在ABC中，ABAC，BAC120，试判断ABC是否为半
4、线三角形，并说明理由；【拓展提升】（2）如图2，在ABC中，ABAC，D为BC的中点，M为ABC外一点，连接MB，MC，若ABC和MBC均为半线三角形，且AD和MD分别为这两个三角形BC边的半线，求AMC的度数；（3）在（2）的条件下，若MD，AM1，直接写出BM的长 1当三角形中一个内角是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”，为友好角如果一个“友好三角形”中有一个内角为42，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为 2当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中称为“奇妙角”如果一个“奇妙三角形”的一个内角为60，那么这个“奇妙三角形”的另两个内
5、角的度数为 3新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在RtABC中，C90，AB10，AC6，如果准外心P在BC边上，那么PC的长为 4定义：锐角三角形三条高的垂足形成的三角形称为垂足三角形在锐角三角形ABC的每条边上各取一点D，E，F，DEF称为ABC的内接三角形垂足三角形的性质：在锐角三角形ABC的所有内接三角形中，周长最短的三角形是它的垂足三角形已知，在ABC中，点D，E，F分别为AB，BC，AC上的动点，ABAC5，BC6，则DEF周长的最小值为 5我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）如图在ABC中，AB
6、AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60 （2）sad90 （3）如图，已知sinA，其中A为锐角，试求sadA的值6定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线（1）如图，ABC是顶角为36的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，判断DAB与EBC是否相似： （填“是”或“否”）；（2）如图，ABC中，AC2，BC3，C2B，则ABC的三分线的长为 7概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“
7、等角三角形”从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”理解概念：（1）如图1，在RtABC中，ACB90，CDAB，请写出图中两对“等角三角形”概念应用：（2）如图2，在ABC中，CD为角平分线，A40，B60求证：CD为ABC的等角分割线动手操作：（3）在ABC中，若A50，CD是ABC的等角分割线，请求出所有可能的ACB的度数8定义：在ABC中，若BCa，ACb，ABc，a，b，c满足ac+a2b2则称
8、这个三角形为“类勾股三角形”请根据以上定义解决下列问题：（1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是 （填“真”或“假”）命题（2）如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，ABBC，ACAB，请求A的度数（3）如图2所示，在ABC中，B2A，且CA，求证：ABC为“类勾股三角形”志明同学想到可以在AB上找一点D使得ADCD，再作CEBD，请你帮助志明完成证明过程.9我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度如图1，在ABC中，ABAC，的值为ABC的正度已知：在ABC中，ABAC，若D是ABC边上的动点（D与A，B，C不重合）（1）若A90，则ABC的正度为 ；（2）
9、在图1，当点D在腰AB上（D与A、B不重合）时，请用尺规作出等腰ACD，保留作图痕迹；若ACD的正度是，求A的度数（3）若A是钝角，如图2，ABC的正度为，ABC的周长为22，是否存在点D，使ACD具有正度？若存在，求出ACD的正度；若不存在，说明理由10定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有 （只填写序号）顶角是30的等腰三角形；等腰直角三角形；有一个角是30的直角三角形（2）如图1，在ABC中，ABAC，BAC90，将ABC沿边AB所在的直线翻折180得到ABD，延长DA到点E，连接BE若BCBE，求证：ABE是“倍角三角形”；
10、点P在线段AE上，连接BP若C30，BP分ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出E的度数11定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形探究：（1）如图甲，已知ABC中C90，你能把ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形我们把DEF（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶
11、分割（如图2）依次规则操作下去n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为SN若DEF的面积为10000，当n为何值时，2Sn3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）当n1时，请写出一个反映Sn1，Sn，Sn+1之间关系的等式（不必证明）12定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”如图1，ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2BDCD，则称点D是ABC中BC边上的“好点”（1）如图2，ABC的顶点是43网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接
12、描出）AB边上的所有“好点”点D；（2）ABC中，BC7，tanC1，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长；（3）如图3，ABC是O的内接三角形，点H在AB上，连结CH并延长交O于点D若点H是BCD中CD边上的“好点”求证：OHAB；若OHBD，O的半径为r，且r3OH，求的值13定义1：如图1，若点H在直线l上，在l的同侧有两条以H为端点的线段MH、NH，满足12，则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”；定义2：如图2，在ABC中，PQR的三个顶点P、Q、R分别在BC，AC、AB上，若RP和QP关于BC满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于AB满足“光学性
13、质”，则称PQR为ABC的光线三角形阅读以上定义，并探究问题：在ABC中，A30，ABAC，DEF三个顶点D、E、F分别在BC、AC，AB上（1）如图3，若FEBC，DE和FE关于AC满足“光学性质”，求EDC的度数；（2）如图4，在ABC中，作CFAB于F，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点E，D证明：DEF为ABC的光线三角形；证明：ABC的光线三角形是唯一的14新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”（1）如图中，若ABC和ADE互为“兄弟三角形”，ABAC，ADAE写出BAD，BAC和BAE之间的数量关系，并证明（2）如图，ABC和ADE互为“兄弟三角形”，ABAC，ADAE，点D、点E均在ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分BME（3）如图，若ABAC，BACADC60，试探
