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1、2015年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷一、选择题：本题有6小题，每小题5分，共30分.1. （5分）方程（x2+x-1） x+3=1的所有整数解的个数是（）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个2. （5分）如图，已知等边 ABC外有一点P, P落在/ BAC内，设P到BG CA、 AB的距离分别为h1, h2, h3,满足h2+h3-h1=6,那么等边 ABC的面积为（）A. 4 3；B. 8 :一； C. 9 . 3 D. 12, 一；3. （5分）若-1a0,则为 嵋;，;一定是（）A. 最小，a3最大B.褊最小，a最大C.2最小，a最大D. 最小，我最大4. （5分
2、）如图，将 ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90,得 ABF, 连接EF交AB于H,则下列结论错误的是（）A. AEAF B. EF: AF=/2： 1 C. AF2=FH?FE D. FB: FC=HB EC5. （5分）在 ABC中，点D, E分别在AB, AC上，且CD与BE相交于点F,已 知ABDF的面积为10, 4BCF的面积为20, CEF的面积为16,则四边形区域 ADFE的面积等于（ ）A. 22 B. 24 C. 36 D. 446. （5分）某医院内科病房有护士 15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）
3、A. 30 B. 35 C. 56 D. 448二、填空题：本题有6小题，每小题5分，共30分.7. （5 分）若 4sin2A- 4sinAcosA+cos2A=0,贝 tanA=.8. （5分）在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船 以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流.则 经过 小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形.9. （5分）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形， 其长、 宽分别为4、2,则通过A, B, C三点的抛物线对应的函数关系式是 .第 #页（共22页）10. （5分）桌面上有大小两颗球，相互靠在
4、一起.已知大球的半径为20cm,小球半径5cm,则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm.11. （5分）物质A与物质B分别由点A （2, 0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第2015次相遇地点的坐标*12. （5分）设C1, Q, C3, 为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2 （如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个 圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆 C3,依此类推 作出C4, C5, C6,，则
5、(1)圆C2的半径长等于 (用a表示)；(2)圆Ck的半径为 (k为正整数，用a表示，不必证明)三、解答题：本题有4个小题，共60分.13. (12分)如图，四边形 ABCD内接于圆O,且AD是圆。的直径，DC与AB 的延长线相交于E点，OC AB.(1)求证：AD=AE(2)若OC=AB=4求4BCE的面积.(1)求证抛物线与x轴必有两个不同交点；(2)设抛物线与x轴的交点分别为A, B,求实数p的值使 ABM面积达到最小.15. (16分)某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场 平一场 负一场积分310奖励(元/每人)15007000当比赛进行到12轮结束(每队均要比赛12场)时
6、，A队共积19分.(1)试判断A队胜、平、负各几场？(2)若每一场每名参赛队员均得出场费 500元，设A队中一位参赛队员所得的 奖金与出场费的和为 W （元），试求W的最大值.16. （18分）已知：矩形ABCD （字母顺序如图）的边长 AB=3, AD=2,将此矩形 放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在 第一象限，且直线y=?x-1经过这两个顶点中的一个.2（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作。M,经过A、B两点的抛物线，y=aM+bx+c的顶点是P点. 若点P位于。M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；过点C作。M的切线交
7、AD于F点，当PF/ AB时，试判断抛物线与y轴的交 点Q是位于直线yx-1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由.0 A审x第 #页（共22页）2015年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学 试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题有6小题，每小题5分，共30分.1. （5分）（2015以心区校级自主招生）方程（x2+x- 1） x+3=1的所有整数解的 个数是（）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个【分析】方程的右边是1,有三种可能，需要分类讨论.第1种可能：指数为0,底数不为0;第2种可能：底数为1;第3种可能：底数为-1,指数为偶数.【解答】解：（1）当x+3=0,
8、 x2+x1*0时，解得x=- 3;（2）当 x2+x 1=1 时，解得 x=- 2 或 1.（3）当x2+x-1 = -1, x+3为偶数时，解得x=- 1因而原方程所有整数解是-3, -2, 1, - 1共4个.故选B.【点评】本题考查了： a0=1（a是不为0的任意数）以及1的任何次方都等于1.本 题容易遗漏第3种可能情况而导致误选C,需特别注意.2. （5分）（2015?天心区校级自主招生）如图，已知等边 ABC外有一点P, P落在/ BAC内，设P到BG CA AB的距离分别为h1, h2, h3,满足h2+h3- h1=6,那么等边 ABC的面积为（）A. 4 ：； B, 8 ：；
9、 C, 9 ： D. 12 ；【分析】先设等边三角形ABC的边长为a,连接PA PB PC,根据&pab+&pac& PC印&CAB,得出上ahi昌ah2 -ah33A 2,2224 名再根据h2+h3 - hi=6,求得a=4后即可得到等边 ABC的面积.【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a,连接PA、PR PC,则& pab+SL pac SL pcb=&cab,Wahi+ah2 - ah3=a【点评】本题主要考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长之间 的关系.根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解决问题的关键.,2224ya （h2+h3 - hi）专,V h2+h3
10、 hi=6,- a=4& CAB=2a2 = 12y区故选（D） .=-0.1 -=-1000 , a最小，a3最大， a故选A.【点评】考查实数的大小比较；选择一个合适的具体的数，代入所给代数式比较, 可以简化比较的步骤.4. （5分）（2001?黑龙江）如图，将 ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90,得AABF,连接EF交AB于H,则下列结论错误的是（）A. AEAF B. EF: AF=/2: 1 C. AF2=FH?FE D. FB: FC=HB EC【分析】由旋转得到 AF AAED,根据相似三角对应边的比等于相似比，即 可求得.【解答】解：由题意知， AF AAEDAF=A
11、E / FAB=/ EAD, / FABZ BAE=Z EAD+Z BAE玄 BAD=90 .AEAF,所以A正确; .AEF是等腰直角三角形，有 EF: AF=/2: 1,所以B正确；v HB/ EC, .FBIH AFCE .FB: FC=HB EG 所以 D 正确.AEF与AAHF不相似，:AF2=FH?FE正确.故选：C.【点评】本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定 和性质求解.5. （5分）（2015?天心区校级自主招生）在 ABC中，点D, E分别在AB, AC 上，且CD与BE相交于点F,已知4BDF的面积为10, zBCF的面积为20, ACEF的面积
12、为16,则四边形区域ADFE的面积等于（）A. 22 B. 24 C. 36 D. 44【分析】可设& ADF=m,根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系, 进而用m表示出 AEF,求出m的值，进而可得四边形的面积.【解答】解：如图，连AF,设$AADF=m,SBDE &BCF=10: 20=1: 2=DF: CF,则有 2m=&aef+Saefg& AEF=2m - 16,而 Sabfc: &efc=20: 16=5: 4=BE EF,又Sa ABF： & aef=BE EF=5 4,而 SABF=m+SABDF=m+10,.& ABF： & aef=BF： EF=5 4= （m+1
13、0）: （2m- 16）,解得m=20.Saef=2X 20- 16=24,Sadef=Sx aef+Sx adf=24+20=44.【点评】本题主要考查了三角形的面积计算问题,能够利用三角形的性质进行些简单的计算.6. （5分）（2015?天心区校级自主招生）某医院内科病房有护士 15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A. 30 B. 35 C. 56 D. 448【分析】此题可运用排列组合解答，15人，每2人一班，轮流值班，则有Ci52=105 种组合，一天是24小时，8小时1班，24除以3二每天3个班 再用105除以3=3
14、5 天.【解答】解：由已知护士 15人，每2人一班，轮流值班，得：有C152=105种组合，又已知每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，所以最长需要的天数是105+ （24 + 8） =35 （天）.故选：B.【点评】此题考查的知识点是整数问题的综合运用，关键是先求出 15人，每2 人一班有多少种组合，再由每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人 再同班求出最长需要的天数.、填空题：本题有6小题，每小题5分，共30分.7. （5 分）（2015以心区校级自主招生） 若 4sin2A 4sinAcosA+cos2A=0,贝U tanA=【分析】先解一元二次方程，再根据锐角三
15、角函数的定义得出即可.【解答】 解：4sin2A- 4sinAcosA+cos2A=0,（2sinA- cosA） 2=0,2sinA cosA=Q 2sinA=cosA, A sinA 1tanA=-=,cosA 2故答案为：上比较简单,【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和解一元二次方程等知识点, 注意锐角三角函数定义的掌握.8. （5分）（2015?天心区校级自主招生）在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流.则经过2小时后,观测站及 A、B两船恰成一个直角三角形.【分析】根据题意画出图形，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直 角三角形，在RtAOBG RtAOCA和Rt
