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1、二次函数中的存在性问题(等腰三角形)1.如图，抛物线yax2-5ax,4经过ABC的三个顶点，已知BCx轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC.(1) 求抛物线的对称轴；(2) 写出A，B,C三点的坐标并求抛物线的解析式；(3) 探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB是等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由2如图，已知抛物线y-2x2,4x,2的图象与X轴交于A,B两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D.点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P,交BC于Q.（1）求点B和点C的坐标；（2
2、）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围.（3）在线段BC上是否存在点Q,使得DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由.1#1#3.已知：如图，抛物线yax2+bx+c经过A(1,0)、B(5,0)、C(0,5)三点.（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C的直线ykx+b与抛物线相交于点E（4,m）,请求出ACEE的面积S的值；（3）在抛物线上求一点P使得ABP0%等腰三角形并00写出P点的坐标；0（4）除（3）中所求的P点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得AABP为等腰三角形？若存在，请
3、0求出一共有几个满足条件的点P（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P，请说明理由.4.08广东梅州如图11所示，在梯形ABCD中，已知ABCD,AD=DC=CB,AB=4.以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.(1) 求ZDAB的度数及A、D、C三点的坐标；(2) 求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L.(3) 若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个？(不必求点P的坐标，只需说明理由)解：(1)DCAB,AD=DC=CB，:.ZCDB=ZCBD=ZDBA,ZDAB=ZCBA,ZDAB=2ZDBA，ZDAB+ZDBA
4、=90。，/.ZDAB=60。，ZDBA=30。，AB=4，/.DC=AD=2,RtAOD，OA=1，OD=3，.A(1,0),D(0,3),C(2,3).(2)根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A(1，0)，B(3，0)故可设所求为y=a(x+1)(x-3)将点D(0，3)的坐标代入上式得，a=；.3所求抛物线的解析式为y=3(x+1)(x3).7分其对称轴L为直线x=1.8分(3)PDB为等腰三角形，有以下三种情况： 因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B,P1DB为等腰三角形；9分 因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P
5、2、P3，DB=DP2，DB=DP3，P2DB,P3DB为等腰三角形； 与同理，L上也有两个点P4、P5，使得BD=BP4,BD=BP5.10分由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个.1#所有满足条件的点P的坐标(不要求写出求解过程).5.如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC,O为原点，点A,C分别在x轴，y轴上，点B坐标为(m,2)(其中m0)，在BC边上选取适当的点E和点F，将AOCE沿OE翻折，得到AOGE；再将ABF沿AF翻折，恰好使点B与点G重合，得到AGF(1) 求m的值；(2) 求过点O,G，A的抛物线的解析式和对称轴；(3) 在抛物线的对称
6、轴上是否存在点P，使得OPG是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出6如图（1）,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1,-2）,点B的坐标为（3,-1）,二次函数y-x2的图象为l.1（1）平移抛物线l，使平移后的抛物线过点A,但不过点B,写出平移后的抛物线的一个解析式（任写1一个即可）.（2）平移抛物线l，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为l，如图（2）,求抛物线l的函数解122析式及顶点C的坐标.（3）设P为y轴上一点，且SS，求点P的坐标.,ABC,ABP（4）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点Q，使,QAB为等腰三角形.若存在，请判断点Q共有几个
7、可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由.7如图，在RtABC中，A=90,AB=6,AC=8,D,E分别是边AB,AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动.设BQ=x，QR=y.(1) 求点D到BC的距离DH的长；(2) 求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；BHQC(3) 是否存在点P，使APQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.二次函数中的存在性问题(直角三角形)8.如图16,在平面直角坐标系中，直线y二-*3x-勇与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线yax2-2J3x,c（a丰0）经过A,B，C三点.1#1#(1) 求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；(2) 在抛物线上是否存在点P，使AABF为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3) 试探究在直线AC上是否存在一点M，使得AMBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由1#1#1#
