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1、生物统计学教案第八章 单因素方差分析教学时间：5学时教学方法：课堂板书讲授教学目的：重点驾驭方差分析的方法步骤,驾驭单因素和两因素的方差分析 ,理解多重比拟的一些常用方法讲授难点：驾驭单因素和两因素的方差分析8.1 方差分析的根本原理8.1.1 方差分析的一般概念第五章讲过两个平均数差异性的比拟可用t检验，在多组数据之间作比拟便须要通过方差分析来完成。在多组数据之间作比拟可以在两两平均数之间比拟，但会进步犯I型错误的概率。最简洁的方差分析是单因素方差分析。下面举例说明。 例1 调查5个不同小麦品系株高，结果见下表： 品 系 I II III IV V1 64.6 64.5 67.8 71.8
2、69.2 2 65.3 65.3 66.3 72.1 68.23 64.8 64.6 67.1 70.0 69.84 66.0 63.7 66.8 69.1 68.35 65.8 63.9 68.5 71.0 67.5 和 326.5 322.0 336.5 354.0 343.0 平均数 65.3 64.4 67.3 70.8 68.6 例2 从每窝均有4只幼仔的初生动物中，随机选择4窝，称量每只动物的诞生重，结果如下： 窝 别 I II III IV 1 34.7 33.2 27.1 32.9 2 33.3 26.0 23.3 31.4 3 26.2 28.6 27.8 25.7 4 31
3、.6 32.3 26.7 28.0 和 125.8 120.1 104.9 118.0 平均数 31.450 30.025 26.225 29.500这两个例子都只有一个因素，例1是“品系”，例2是“窝别”。在每个因素下，又有a个程度（或称为处理），例1有5个品系，例2有4个窝别。a个程度可以认为是a个总体，表中的数据是从a个总体中抽出的a个样本。方差分析的目的就是由这a个样本推断a个总体。因为上述试验都只有一个因素，对这样的数据所进展的方差分析称为“单因素方差分析”。单因素方差分析的典型数据见下表。 X1 X2 X3 Xi Xa 1 x11 x21 x31 xi1 xa1 2 x12 x22
4、 x32 xi2 xa2 3 x13 x23 x33 xi3 xa3 j x1j x2j x3j xij xaj n x1n x2n x3n xin xan平均数 x1. x2. x3. xi. xa.表中的xij表示第i次处理下的第j次观测值，下标中的“.”表示求和，详细说明如下：8.1.2 不同处理效应与不同模型线性统计模型：模型中的xij是在i程度下的第j次观测值。是对全部观测值的一个参数，称为总平均数。i是仅对第i次处理的一个参数，称为第i次处理效应。ij是随机误差成分，要求误差是听从N(0，2)的独立随机变量。固定因素：因素的程度确定后，因素的效应即被确定。因素的a个程度是人为特意选
5、择的。方差分析所得结论只适用于所选定的a个程度。固定效应模型：处理固定因素所运用的模型。随机因素：因素的程度确定之后，其效应并不固定。因素的a个程度是从程度总体中随机抽取的。从随机因素的a个程度所得到的结论，可推广到该因素的全部程度上。随机效应模型：处理随机因素所运用的模型。8.2 固定效应模型8.2.1 线性统计模型其中i是处理平均数与总平均数的离差，因这些离差的正负值相当，因此假如不存在处理效应，各i都应当等于0，否则至少有一个i0。因此，零假设为： H0：12 a0备择假设为： HA：i 0（至少有一个i）8.2.2 平方和与自由度的分解对于每个固定的xi .，因此，以SST表示总平方和
6、，SSA表示处理平方和，SSe表示误差平方和，三者关系为： SSTSSASSe自由度可做同样的分割： dfTdfA + dfe dfTan1 dfAa1 dfeana为了得出检验统计量，以处理平方和与误差平方和除以相应的自由度，得出相应的均方。 MSeSSe/dfe MSASSA/dfA。8.2.3 均方期望与统计量FMSe是2的无偏估计量，证明如下：用同样的方法可以得出MSA的均方期望。因为E(ij)=0, 故全部包含ij乘积项的数学期望都等于0于是：由以上结果可以看出，误差均方MSe是2的无偏估计量。对处理项来说，只有当i0时，MSA才是2的无偏估计量。用MSA和MSe比拟，便可以反映出i
7、的大小。为此，运用统计量F作为检验统计量，做上尾单侧检验。F=MSA / MSe，具dfA,dfe自由度，当FF时回绝零假设，处理平均数间差异显著。在中，令则处理均方可表示为这时的零假设可以记为H0：2 = 0。备择假设记为HA：2 0。将上述结果列在方差分析表中 变差来源 平方和 自由度 均方 F 均方期望 处理间 SSA a1 MSA MSA/MSe 2+n2 误 差 SSe naa MSe 2 总 和 SST na18.2.4 平方和的简易计算令C称为校正项。误差平方和 SSe SSTSSA将例1中的每个数据都减去65，编码后列成下表。 品 系 I II III IV V 1 0.4 0
8、.5 2.8 6.8 4.2 2 0.3 0.3 1.3 7.1 3.2 3 0.2 0.4 2.1 5.0 4.8 4 1.0 1.3 1.8 4.1 3.3 5 0.8 1.1 3.5 6.0 2.5 总和 xi . 1.5 3.0 11.5 29.0 18.0 57.0 xi .2 2.25 9.00 132.25 841.00 324.00 1308.50 xij2 1.93 3.40 29.43 174.46 68.06 277.28将以上结果列成方差分析表：变差来源 平方和 自由度 均方 F 品系间 131.74 4 32.94 42.23* 误 差 15.58 20 0.78 总
9、 和 147.32 24 * 0.01F4，20，0.052.87，F4，20，0.014.43。F F0.01。PFa-1,an-a,时回绝H0。MSA的期望组成除包含误差方差外，还包含处理项方差，说明不同处理间存在差异。方差分析的程序与固定模型一样，但由于获得样本的方式不同，使之所得结果也不同。随机模型适用于程度总体，而固定模型仅适用于所选定的a个程度。以下是例2的计算结果，将每一数据均减去30。 4.7 3.2 2.9 2.9 3.3 4.0 6.7 1.4 3.8 1.4 2.2 4.3 1.6 2.3 3.3 2.0 总和 xi . 5.8 0.1 15.1 2.0 11.2 xi .2 33.64 0.01 228.01 4.00 265.66 xij2 49.98 33.49 69.03 32.86 185.36将上述结果列成方差分析表 变差来源 平方和 自由度 均方 F
