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1、摘 要对流扩散问题的数值求解是传热、传质学的重要研究课题。研究对流扩散问题 的数值解，寻找一种快速、稳定而又实用的数值算法，具有重要的理论和实际意义。 目前，用来求解这类问题的数值解法有很多，研究的角度也有所不同。在各种数 值方法的求解中，其程序开发的具体实现一般都采用结构化语言，用面向对象的程 序设计语言来开发的相对较少。本文研究的课题是面向对象的三维对流扩散问题有 限元分析程序的设计与实现，主要研究Peclet数较小时，三维定常的对流扩散方程 的有限元解法，用面向对象的C+程序设计语言开发出有应用价值的通用程序，对 相关的对流扩散问题进行数值模拟。本文的主要内容总结如下：1 .阐述了本文的
2、研究背景，综述了面向对象程序设计的基本原理。2 .采用四结点四面体单元和八结点六面体等参数单元进行三维定常对流扩散 方程的有限元分析。3 .用面向对象的程序设计语言C+来具体实现三维定常对流扩散问题的有限 元程序的开发，融入用C+编制的大型通用有限元科学和工程计算软件。4 .给出了四个算例，并对分析结果进行初步讨论和评价，从而验证本文方法的 有效性和实用性。关键词：对流扩散方程，有限元，面向对象方法，程序设计ABSTRACTNumerical solution of convection-diffusion problem is an important subject in heat and
3、 mass transfer. To this problem, it provides important theoretic and practical significance to seek a fast, stable and practical numerical method. At present, there are many methods to solve this class of problems, with its diflferent points. Among these methods, design and implementation of program
4、s were developed by structure languages mostly, and less by object-oriented program comparatively. The subject of this paper is to develop an object-oriented finite element analysis program of three-dimensional convection-diffusion equation. We mainly study the finite element method for three-dimens
5、ional steady-state convection-diffusion equation in the case of the value of Pec let is small, and then develop a general program with object-oriented C+ language and give the numerical simulation to the corresponding convection-diffusion problems.The main of this paper is outlined as follows:1 .The
6、 background of this paper is described, and the basic theory of object-oriented program is summarized.2 .The finite element analysis of three-dimensional steady-state convection-diffusion equation is given by using 4-node tetrahedral elements and 8-node hexahedral elements.3 .The finite element prog
7、ram of three-dimensional steady-state convection-diffusion problems is developed by using the object-oriented C+ language, which can be applied to a large general finite element science and engineering computation software.4 .The primary discussion and the remarks about the results of four numerical
8、 examples are made, and then the validity and utility of the method proposed in this paper is verified.Keywords: Convection-diffusion equation, Finite element method, Object-oriented method, Programming1绪 论对流扩散方程是一类基本的运动方程，它可以用来描述河流污染、大气污染、 核废物污染中污染物质的分布，流体的流动和流体中热的传导等众多物理现象。 对于同时伴有物质输运和分子扩散的物理过程以及粘
9、性流体的流动，其数学模型 通常为对流扩散方程或含有此类方程的偏微分方程组的定解问题。对流扩散问题 数值计算方法的研究具有重要的理论和实际意义，可用于环境科学、能源开发、 流体力学和电子科学等许多领域。对流扩散问题的有效数值解法一直是计算数学 中重要的研究内容，求解对流扩散方程的数值方法主要是有限差分法(FDM)、有限 元法(FEM)、有限体积法(FVM)、有限解析法(FAM)、边界元法(BEM)、谱方法(SM) 等多种方法。但是对于对流占优问题，用通常的差分法或有限元法进行求解将出 现数值震荡。为了克服数值震荡，80年代，J.Douglas,Jr.和T.F.Russell等提出特征 修正技术求
10、解对流扩散占优的对流扩散问题，与其它方法相结合，提出了特征有 限元方法、特征有限差分方法、特征混合元方法；T.J.Hughes和A.Brooks提出过 一种沿流线方向附加人工黏性的间断有限元法，称为流线扩散方法(SDM)。有限差 分法、有限元法、有限体积法是工程应用中的主要方法。本文所研究是低Peclet 数下，粘性不可压缩流体的流动中，三维定常的对流扩散问题的有限元解法。验 证Peclet数较小时，三维定常的对流扩散方程的有限元解法的有效性，用面向对 象的C+程序设计语言开发出有应用价值的通用程序，对相关的对流扩散问题进 行数值模拟。对于对流占优对流扩散问题的求解，采用本文方法，要得到稳定解
11、， 则要通过加密有限元网格来实现。1.1 对流扩散方程的背景及其特点对流扩散问题，又称弥散(Dispersion)问题。它主要是研究流体中由流体质点 所携带的某种物理量，如温度或溶解于流体中的物质的浓度在流动过程中的变化 规律。这些变化一般包括对流、扩散以及由于某种物理化学的原因引起的物理量 自身衰减或增长的过程。1.1.1 对流扩散方程的背景四假定u = u(x,y,z,t)是流体中单位体积所携带的物理量。如物理量是流体介质 的质量，则u表示密度；如物理量是某种污染物的含量，则u是表示污染浓度；如 物理量是热能，则u是热量或温度。为研究物理量u的变化规律，在流场中任取一 个有限区域丫，其边界
12、为S o V中流体所携带的物理量u的变化，由下列三方面物 理过程组成。(1)对流过程由于流体处于宏观的流动状态，丫中U的总量因对流而发生变化，可以认为它由两方面组成：一项是在u中V随着时间的增长而产生的变化；另一项是区域V中 由于流体流动，位置发生变化所引起流体中u的变化(图1.1) o也就是V中u的积 分量的随体导数V(r +Ar)SVnV(r)图1.1对流过程Figure 1.1 Process of convectiondtdudt其中Vn = v - n是流体速度在S面上的法向分量。利用Green-Gauss公式 Nmv/iJS = div(uv)dV应有dt(2)扩散过程扩散过程包含
13、有分子布朗运动形成的分子扩散以及流体湍流运动形成的湍流 扩散。这种扩散使得物理量u在流场中由高值向低值方向移动。若扩散的速率用q 表示，它是单位时间内通过单位面积的物理量，Fick定律给出了物理量在流场中 的扩散速率公式q = Kgrad u其中张量K = K m+K m的各个分量值取决于含有物理量u的流体的状态与性质。-一般地说，企图在理论在 确定K值是非常困难的，通常是通过实验测定。如果扩散是各向同性的，则可写 成q = kgrad u其中k是扩散系数，它可以是M或其它物理量的函数，也可以是常数。由于扩散作 用，使区域V中U的增加量为，K是分子扩散系数张量，K,是湍流扩散系数张量。K-N
14、qdS = N KgradudS = J divKgradu)dV(3)源和汇流场中物理量u的自身增长与衰减，一般是通过分布在流场中的源和汇来描 述。这种源和汇是场的分布函数，记为。0表示源，它将使u增长；。V0 表示汇，它将使u减小。m增长或减小的速率由源或汇的强度，即。绝对值的大小 来反映。在区域V中，由于源汇的作用使M的增加量为通常我们将Q分为源增长项和汇衰减项。线性衰减类型的表达式为其中70是源分布函数，PN0是衰减函数。另一种常用的衰减类型的时间的指 数规律Q =f-uoe 7其中wo是初始时刻物理量的浓度，t是时间变量，y是衰减常数。1 . 1.2对流扩散方程的导出则根据守恒原理，
15、单位时间内丫中M的变化应满足：由于对流M的增加量=由于扩散进入V中的M的增加量+ 由于源汇作用U的增加量 也就是由于V是任意的，上面的守恒方程可写成cu一 + div(uv) = div( Kgradu) + Q(Lia)a.或写成加 .7 4- vgradu = div(Kgradu) + Q(1.1b)立这个方程通常称为对流扩散方程。方程(1.1)的边界条件分为两种类型：(1)在边界口上给出本质边界条件(2)在边界n上给出自然边界条件,3CU(Jn =Sx,rii = qnJl 初 + div(uv) |J dV = Jdiv(Kgradu)dV + j QdV总边界= BU2。上述边界条件也可统一写成：在边界上SuUokijn： + a,M + az = 0加式中a。、ai、a2是已知函数。初始条件为：在t = 0时，给出的分布H( X , 0) = H ( X )方程(1.1)式中的速度V 一般有两种情况：一种是U对于流场中的密度P或速度V没 有直接影响，或者影响很小可以忽略，此时V可以独立通过流体力学的主流方程(即 连续性方程和
