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1、习题4.22. 求解下列常系数线性微分方程:(1) 解:特征方程:特征根:基本解组:所求通解:(2) 解:特征方程:特征根:基本解组:所求通解:(3) 解:特征方程:特征根:基本解组:所求通解:(4) 解:特征方程:特征根:基本解组:所求通解:(5) (属于类型)解:齐次方程:特征方程:特征根:当,齐次方程通解:,此时0不是特征根,故设特解为,将其代入原方程可得,从而特解为,所以所求通解:当,0是二重特征根,故齐次方程通解:,设特解为,则将其代入原方程可得,从而特解为,所以所求通解: (6) (属于类型)解:齐次方程:特征方程:特征根:齐次方程通解:0不是特征根,故设特解为,将其代入原方程可得
2、,从而特解为,所以所求通解:(7) (属于类型)解:齐次方程:特征方程:特征根:齐次方程通解:方法一:常数变易法求解设原方程通解为,则所以将代入中即得原方程通解:方法二:比较系数法求解由于0不是特征根,故设特解为,将其代入原方程可得,从而特解为,所以所求通解:(10) (属于类型)解:齐次方程:特征方程:特征根:齐次方程通解:由于1是一重特征根,故设特解为,将其代入原方程可得,从而特解为,所以所求通解:(12) (属于类型)解:齐次方程:特征方程:特征根:齐次方程通解:由于2不是特征根,故设特解为,将其代入原方程可得,从而特解为,所以所求通解:(14) (属于类型的混合,注意和中的系数不一样)
3、解:齐次方程:特征方程:特征根:齐次方程通解:对于,由于是一重特征根,故设其特解为,则将其代入可得,从而的特解为;对于,由于不是特征根,故设其特解为,则将其代入可得,从而的特解为。所以原方程特解为,故所求通解:(15) (属于类型和的混合)解:齐次方程:特征方程:特征根:齐次方程通解:对于,由于1不是特征根,故设其特解为,则将其代入可得,从而的特解为;对于,由于2是二重特征根,故设其特解为,则将其代入可得,从而的特解为;对于,由于0不是特征根,故设其特解为,则将其代入可得,从而的特解为。所以,原方程特解为,故所求通解:(20) (不属于类型、的混合,用常数变易法求解)解:齐次方程:特征方程:特征根:齐次方程通解:设原方程通解为,则所以所求通解:3. 求下列方程的通解:(1) 解:做变换,则所以原方程可化为由可得所求通解: