《华罗庚学校数学教材(六年级上)第11讲_棋盘中的数学(二)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《华罗庚学校数学教材(六年级上)第11讲_棋盘中的数学(二)（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本系列共14讲第十一讲棋盘中的数学(二)棋盘覆盖的问题文档贡献者：winn er_d1975有这样一道竞赛题：例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图 中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？(A) 3X 4 ( B) 3X 5 (C) 4X 4(D) 4X 5 ( E) 6X 3解：通过试验，很容易看到，应选择答案(B).这类问题，容易更加一般化，即用2X 1的方格骨牌去 覆盖一个mX n的方格棋盘的问题.定理1: mX n棋盘能被2X 1骨牌覆盖的充分且必要的条件是 mn 中至少有一个是偶数.证明：充分性：即已知 m n中至少有一个偶数，求证：mX n* * *2n + 2
2、n + 加 + “-+ 2n棋盘可被2X 1骨牌覆盖.不失一般性，设 m= 2k,则mX n= 2kX n=k X(2 n)二易知- r可被n个2X 1骨牌覆盖，所以mX n棋盘可被kn个2X1骨牌覆盖。必要性：即已知mX n棋盘可以被2X 1骨牌覆盖.求证：m, n 中至少有一个偶数.若rnK n棋盘可被2X1骨牌覆盖，则必覆盖偶数 个方格，即mn是个偶数，因此m n中至少有一个是偶数.例2下图中的8X8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格, 问能否用31个2X 1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？n%!/毡、分析 刚一想，31个2X 1骨牌恰有62个小方格，棋盘去掉两个 角后也是62个格，好像
3、很有可能盖住.但只要简单一试，便发现不可能.仔细分析，发现如果把棋盘格黑、白相间染色后，2X 1骨牌 一次只能盖住一个黑格与一个白格. 只要发现这个基本事实立即可以 找到解答。解：我们将残角棋盘黑、白相间染色（如图），62个格中有黑格32个，白格30个.另外，如果用2X 1骨牌31张恰能盖住这个残 角棋盘，我们发现，每个骨牌必定盖住一个黑格，一个白格，31个骨牌将盖住31个黑格及31个白格.这与32个黑格数，30个白格数 的事实相矛盾.所以，无论如何用这31张2X 1的骨牌盖不住这个残 角棋盘.例3在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：可以用若干块和壬拼成的图形是第几号图形？解：图形
4、（1）和（2）中各有11个方格，11不是3的倍数，因 此不能用这两种图形拼成。图形（3）的右上角只能用二二来拼，剩下的图形显然不能用这 两种图形来拼。只有图形（4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有 多种，下图仅举出一种为例.EEBEhEH说明：排除图（1）与（2）的方法是很重要的.因为一个图形可 以用若干块工口和壬 盖住，这个图形的小方格数一定是 3的倍 数。因此，小方格数不是3的倍数的图形一定不能用 H口与壬 形的“骨牌”盖住，这是“必要条件排除法 ”.但要注意，一个图形 小方格数是3的倍数，也不能保证一定能用丨丨】I与匸盖住。这 表明这个条件并不充分，图形（3）表明的就是这种情况
5、.例4 2 xn的方格棋盘能用 二二形骨牌覆盖的充分且必要的条 件是3 | n.证明：充分性：即已知3 | n,求证2x n棋盘可被一一骨牌覆若 3 | n时，设n = 3k,贝S 2X n= 2X 3k = k （2X 3）由于两个 丄可拼成一个2X 3小棋盘，这时2X n恰为k个2 X 3组成，所以当3丨n时2X n棋盘可以被若干个 出 形盖住。必要性：即已知2X n棋盘可以被二二骨牌覆盖，求证：3 | n。设2X n棋盘被x个一一形覆盖，则2X n = 3Xx则 3 | 2门，但（2, 3）= 1,二 3 | n.说明：例4的结论为我们制定mXn棋盘能否被一一形覆盖提供 了一种思考方法.
6、比如，若 3 | n且2 | m时，mX n棋盘可分成若干个2X n棋盘，而每个棋盘都能被二二形盖住，因此mX n棋盘可被 卜形盖住。例5 一种游戏机的“方块”游戏中共有如下图所示的七种图形 每种图形都由4个面积为1的小方格组成.现用7个这样的图形拼成 一个7X4的长方形（可以重复使用某些图形）.那么，最多可以用上 面七种图形中的几种？分析 用七个图形，共4X 7=28个方格，要是能拼成4 X 7的棋 盘，小格数一样，这表明存在可能性。显见由-一I型七个，可以拼成4X 7的棋盘；由4个 7的棋盘。这时采用了小“方块”中的两种。这样试下去，我们会发现， 由七种方块中的6种可以拼成4X 7棋盘格，
7、如下图所示。但要将七种“方块”每个都只用一次，要拼成 4X7棋盘，试几次会 发现拼不出来。因此我们会想到，是不是不可能呢？下面我们证明这 一点。证明：用6种“方块”构成4X 7棋盘已如上图所示.下面我们证明不能用七种“方块”各一块构成 4X7的长方形棋盘.将长方形的28个小方格如下图黑、白相间进行染色，则黑、白格各为14。若能用7种“方块”拼成，则必占据了 3个黑格一个白格或3个白格1个黑格，而其余六种方块图形皆占据黑格、 白 格各2个.因此，7种方块图形占据的黑白格数必都是奇数，不会等 于14.:;0:综上所述，要拼成4X 7的方格，最多能用上七种“方块”中的6 种图形。例6 由1 X 1、
8、2 X 2、3X 3的小正方形拼成一个 23X 23的大 正方形，在所有可能的拼法中，利用1X1的正方形最少个数是多少？ 试证明你的结论.解：用1X 1的正方形至少一个.第一步：中心放一个1 X 1的正方形，剩下的4个11 X 12的矩形, 是可以用6个2X 2正方形和12个3X 3正方形拼成的，如下图所示.11112 第二步：不用1X 1而只用2X 2与3X 3的正方形是拼不成的.将23X 23的大正方形的1 , 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22各行染红色， 其余各行染蓝色如下图.任意2X2或3 X3正方形都将包含偶数个蓝色小格，但蓝格总数是23 X 15,是个奇数，矛盾.所
9、以不用1 X 1的 小正方形是拼不成23X 23棋盘的。综上所述，要拼成23X23棋盘，至少要用一个1X 1的小正方形.例7 8 X 8的棋盘能否用15个形骨牌和EH形骨牌覆盖？解：如下图用黑白二色相间涂染 8X 8棋盘，总计有32个黑格 及32个白格V/羽%!%当我们把L放入棋盘时，一定盖住两个小黑格及两个小白格。当我们把一 形骨牌任意盖在8X8棋盘上时，要么它盖住三 黑一白（称为第I类），要么它盖住三白一黑（称为第H类），总之一个盖住奇数个（3个，或1个）白格。假设用15个一形骨牌和1个匸一形骨牌可以覆盖这个8X 8口奇数+奇数奇数棋盘，则15个形骨牌将盖住*二奇数个白格。1个匸一形骨牌盖
10、住2个白格。所以15个 一形骨牌和1个一 形骨牌共盖住：奇数+ 2=奇数个白格。这与8X8棋盘上共有32个白 格的总数相矛盾。所以8X8的棋盘不能用15个 关于棋盘的覆盖问题我们简单介绍到这里，并且只是个别的例 题，作为入门的先导罢了!习题十1, 在4X 4的正方形中，至少要放多少个二二形块，使得在不 重叠的情形下无法再在正方形中多放一个二二形块？2, 3个形块和一个E日字块能否盖4X4的棋盘纸？3, 证明一个5X9的棋盘能被“丨形块覆盖。4, 求证4X4棋盘格切去左上角与右下角两个格后的残角棋盘， 不能用7个1X 2骨牌所覆盖.5, 请将如下图所示的6X6棋盘分成两块，使得两块的形状和大 小都相同，并且每一块中都含有 A B、C、D E五个字母。EEECAAc
