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1、天津市七校2022-2023学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）1.复数，则（ ）A. 0 B. C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算将式子化简以及模长公式,得到结果即可.【详解】所以.故选D.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为（ ）A. 16 B. 15 C. 14 D. 13【答案】B【解析】【分析】
2、由题意，等差数列的公差为2，根据，解得，即可求解.【详解】由题意，等差数列的公差为2，前项和为，因为，解得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.下列叙述中正确的是（ ）A. 若，则“”的充分条件是“”B. 若，则“”的充要条件是“”C. 命题“”的否定是“”D. 是等比数列，则是为单调递减数列的充分条件【答案】C【解析】【分析】由题意，根据二次函数的性质，可判定A不正确；根据不等式的性质，可判定B不正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定
3、C正确；根据等比数列的性质，可判定D正确.对于A中，若，则“”的充分条件是“且【详解】由题意，对于A中，若，则“”的充分条件是“且”，所以是错误的；对于B中，若，则“”的充要条件是“且”，所以不正确；对于C中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“”，所以是正确的；对于D中，在是等比数列，例如当且时，此时为单调递增数列，所以不正确.故选C.【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记二次函数的性质，不等式的性质以及等比数列的单调性等知识点，合理、准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4.已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆在第二象限的交点为M，与轴的
4、交点为N，是椭圆的右焦点,且，则椭圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，求得和，根据和椭圆的定义可得，从而求得，进而可求解椭圆的标准方程.【详解】由题意，直线与轴的交点，又直线过椭圆的左焦点，所以，即，因为直线与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为，且，所以，即，又由，所以椭圆的方程为，故选D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，其中解答中认真审题，合理利用椭圆的定义和几何性质求解得值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.5.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA12，AB4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为
5、（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，取得平面的法向量为，即可求解点E到平面的距离，得到答案.【详解】如图所示，以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，取，得，所以点E到平面的距离为，故选B.【点睛】本题主要考查了空间向量在的距离中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，熟练应用平面的法向量和距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.已知，则是的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】
6、根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案.【详解】由题意，若，则，则，所以，则成立，当时，满足，但不一定成立，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.7.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，若，则不等式的解集为（ ）A. 或 B. 或C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】由题意，令，利用函数的奇偶性的定义和导数求得函数单调性，又由，即，即，即可求解.【详解】由题意，令，当时，所以函数在上单调递增，又由函数为偶函数，所以，
7、所以函数为定义域上的奇函数，所以函数在上单调递增，又因为，所以，且.所以当或时，当或时，又由，即，即，所以或所以不等式的解集为或，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，利用导数研究函数的单调性及应用，其中解答中根据题意合理构造函数，利用导数得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.8.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，若，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意，求得是的中位线，得到，因为，所以，又由抛物线的定义可得，过点F作的垂线，点P到该垂线的距离为，由勾股定理得，即
8、可求解.【详解】设双曲线的右焦点为，则的坐标为，因为抛物线为，所以为抛物线的焦点，因为O为的中点，又由，则点为的中点，所以是的中位线，所以,因为，所以，又，所以，设点，则由抛物线的定义可得，所以，过点F作的垂线，点P到该垂线的距离为，由勾股定理得，即，得，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准及简单的几何性质的应用，以及抛物线的定义的应用，其中解答中合理应用圆锥曲线的几何性质，得出关于离心率的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9.已知方程表示椭圆，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由方程表示椭圆，根
9、据椭圆的标准方程，列出不等式组，即可求解【详解】由题意，方程表示椭圆，则满足，解得且，即实数的取值范围为且.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，其中解答中根据椭圆的标准方程，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.设公比为的正项等比数列的前项和为，且，若，则_.【答案】【解析】由已知得，两式相减可得，或（舍去），故答案为.11.在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为_.【答案】【解析】【分析】由题意，设，建立空间的一个基底，在正四面体中，根据向量的数量积的运算，即可求解.【详解】由题意，设，建立空间的一个基底，在正四面体中，所以.【点睛】本题主要考
10、查了空间向量的数量积的运算问题，其中解答中建立适当的空间基底，熟记向量的表示，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12.已知，且，则的最小值等于_.【答案】【解析】【分析】由题意，根据题设条件，得到，利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意， 且，则，当且仅当，即时等号成，所以的最小值等于.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意，合理恒等变换，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.13.设抛物线 （）的焦点为，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足为.
11、 若，且三角形的面积为，则的值为_.【答案】【解析】【分析】由抛物线的定义，化简得到直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系求得，求得，求得的长，利用面积公式，即可求解.【详解】如图所示，由抛物线的定义可知，则，则,所以直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立方程组，整理得，所以，所以，则，所以的面积为，解得. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用，以及抛物线的几何性质的应用问题，其中解答中熟练应用抛物线的定义，求得直线的方程，利用抛物线焦点弦的性质，求得的长是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用.14.已知函数，若是函数唯一的极值点，则实数
12、的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由题意，求得函数的导数，根据题意是函数的唯一的一个极值点，得出在无变号零点，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，且，因为是函数的唯一的一个极值点，所以是导函数的唯一根，所以在无变号零点，即在上无变号零点，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中把是函数的唯一的一个极值点，转化为在无变号零点，构造新函数，利用导数求解函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，以及推理与计算能力，属于中档试题.三、解答题（共6小题，共80分
13、）15.数列的前项和为，已知，. 其中（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】(1)由，可得，即，从而可得结论；（2）由（1）知，可得，利用错位相减法，结合等比数列求和公式，即可得结果.【详解】（1）证明：，又，数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知， ， . -得，.【点睛】本题主要考查等比数列的定义和等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表
14、达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.16.已知函数在处取得极值.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得函数的导数，由是函数的极值点，得到，求得，再利用导数的几何意义，即可求解切线的方程；（2）由，得，令，又由方程在上恰有两个不同的实数根，转化为上恰有两个不同实数根，利用导数取得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】（1）由题意，求得函数的导数时，取得极值，故解得.经检验符合题意. （2）由知，得令则在上恰有两个不同的实数根，等价于上恰有两个不同实数根. 当时，于是上单调递增；当时，于是在上单调递增；依题意有 解得 .【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线方程，以及利用导数研究方程的根的问题，其中解答中熟记导数的几何意义求解切线的方程，以及把方程的根转化为在上恰有两个不同实数根，利用导数取得函数的单调性和最值，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.17.在如图所示的多面体中，平
