精选优质文档-----倾情为你奉上第六章 定积分的应用学习指导一、基本内容（一）微元法根据问题的具体情况选取积分变量及变化区间，再小区间求出部分量的近似值的积分元素，从而求出所求量二）平面图形的面积1．由平面曲线，直线，和所围图形的面积：2．由平面曲线，和直线，所转图形的面积：3．由极坐标曲线， 、转的图形的面积：4．由参数方程，给出的曲线和直线，，所围图形的面积：三）体积1．由曲线和直线，，所围图形绕轴旋转一周所得旋转体体积：2．由曲线和直线，，所围图形绕轴旋转一周所得旋转体积：3．垂直于轴的平行截面面积为的函数的立体的体积：四）平面曲线的弧长1．直角坐标曲线：2．参数方程曲线，，：3．极坐标曲线，：五）定积分在物理上的应用对实际问题先取积分变量，积分区间，求出所求量的微元，利用微元法求解二、基本要求1．掌握利用定积分求解问题的基本方法——微元法2．会用定积分计算一些平图形的面积，旋转体的体积和曲线的弧长3．能利用定积分解决有关数学和物理上的一些问题三、重点和难点重点：用定积分求解的方法——微元法，计算平面图形的面积，旋转体的体积和曲线的弧长难点：用微元法解决有关问题四、注意的问题本章的学习应注意在掌握微元法上下功夫，掌握了微元法，有关公式的掌握和证明就轻而易举了。
五、典型例下题例1：计算抛物组与直线所围图形的面积 解：作出图形，求交点坐标：解方程组：，得交点坐标，此图形可看成由，及和围成，选择为积分变量较为方便（原则系分区间积分）应用公式的所求面积为：例2：求椭圆所围成的图形面积解：椭圆关于两坐标轴均对称，故面积为，其中为该椭圆在第一象限部分与坐标辆所围图形的面积利用参数方程，，在第一象限，于是所求面积为： 当时，得圆的面积 例3：求曲线及直线，()所围图形绕轴、轴旋转一周所得旋转体的体积解：作出图形，求解交点：解方程组：得交点坐标从而可求的绕辆和绕轴旋转所得的旋转体体系和 注：求体积进常需进行适当的公解或组合例4：求摆线的弧长解：∵ 于是所求弧长 例5：一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积。
解：建立坐标如图上过轴上坐标为的点且与轴垂直的平面截立体得截面易知面积从而所求体积： 例6：一倒圆锥形容器，高为，底半径，容器内盛满水，试问要把桶内的水全部吸出需作功多少？解：作轴截面图如图，取积分变量积分区间为取小区间相应于此小区间这一薄层水的高度为水的比重为，因此的单位为米这薄层水的重量为 （这里是三角形的所此求的）故这薄层水吸容器外需作为微功为：于是所求的功为：(KJ)第七章 空间解析几何与向量代数在这一章中，首先建立空间直角坐标系，引进自由向量，并以坐标和向量为基础，用代数的方法讨论空间的平面和直线，在此基础上，介绍一些常用的空间曲线与曲面通过这一章的学习，培养空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力也为学习多元微积分做准备重点：曲面方程，曲线方程难点：较深刻地理解曲面（平面）、曲线（直线）方程，并能把握方程所表示的图形的特征一）1．空间笛卡尔坐标系的构成：空间的一个定点，连同三个两两互相垂直的有序向量组，称为笛卡尔坐标系当，，的相互关系和右手拇指、食指、中指相同时，称为右手坐标系。
在通常的讨论中，常用右手笛卡尔坐标系关于一般的坐标系称为仿射坐标系，有兴趣的同学可参阅《空间解析几何》这类专业教材2．空间向量可以从两个途径来认识：①由定义：具有大小和方向的量称为向量，因此可由方向（可由方向角来确定）连同大小（模长）来确定（注意，这样定义的向量称为自由向量，简称向量，自由向量与起点和终点无关）书上往往用黑体字母表示，手写时用黑体并不方便，常在字母上面加一个箭头表示，例：，等②可由向量的坐标来把握向量必须分清向量坐标与点坐标这两个概念，一般情况下，设的始点的坐标分别为，，则，即向量的坐标与向量的起点及终点的坐标间有下列关系：，，因此，若确定了向量的坐标，则这个向量就确定了当向量的起点与坐标系的原点重合时，向量的坐标与向量的终点的坐标在数值上相等3．在学习向量的代数运算时，利用几何或物理模型比较容易掌握如求向量的加法和减法可以平行四边形或以力的相加或相减为模型，求两向量的数量积可以求力在某段路程上所作的功为模型，求两向量的向量积可以求力关于某点的力矩为模型，并要熟练掌握每种运算的算律4．一个平面具有各种形式的方程，如点法式，三点式，截距式，一般式在学习平面的各种形式的方程时，对方程中常数的几何意义应引起充分的注意。
如：平面方程，则为平面的一个法向量，建立平面的方程时应根据条件灵活处理点法式方程是应用较方便，常用的方程类型，这是因为在讨论平面问题时，平面的法向量常常起着关键性的作用5．确定空间一条直线的方法很多，在《高等数学》中把它归结为由直线上的一个定点和与直线平行的一个非零向量来确定，或将它看成两个平面的交线空间直线的标准式方程与参数式方程，二维空间中的直线均有对应的形式，但要注意，只有空间直线可看成两个平面的交线6．在《高等数学》中，常用的曲面方程为：椭球面方程，当或或时为旋转椭球面，当时，为球面方程双曲面方程 锥面方程抛物面方程，其中柱面方程，母线平行于轴的柱面方程，母线平行于轴的柱面方程旋转面方程母线（二）1．向量在轴上的投影是个常用的概念，要注意向量在轴上的投影是一个数量而不是一个向量，也不是一个线段设向量，其中投影轴为，点，在轴上的投影分别为，，若取与轴同方向的单位向量为，则有称为在轴上的投影因此向量在轴上的投影不是有向线段，而是一个数值，记为，易知，其中为与轴的夹角2．向量在坐标轴上的投影称为向量的坐标3．向量的数量积，向量积一览表：定义，其中是同时垂直于，的单位向量，且，，按右手系排列坐标表示，，特征性质即即几何应用点到平面的距离为，(*1)，其中为平面的单位法向量，是上的任一点，当时，(*1)式给出动点所满足的平面的方程。
点到直线的距离为，(*2)，其中为直线上的单位向量，是直线上的任一点当时，(*2)式给出动点所满足的直线的方程4．要熟练掌握平面，直线的各种形式的方程互化，关键在于明确在各种形式的方程中，各个量（常量、变量）的几何意义以及它们之间的关系，在此基础上，互化是容易做到的如建立平面的三点式方程时，若硬记公式则不容易记牢的，但从三个向量共面的角度去思考就能牢牢地记住5．要深刻理解空间直角坐标系下平面的方程是一个关于，，的一次方程反之，任何一个关于，，的一次方程都表示一个平面6．平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系均是通过平面的法向量间，直线的方向向量间，或平面法向量与直线的方向向量间的位置关系来讨论，因此可归结为向量问题来解决如：两个平面间的夹角问题通过它们的法向量的夹角来解决7．常用的曲面方程见（A）中6，要真正掌握这些曲面的形状、特征，可以用“平行平面截割法”，也就是用一族平行平面（一般平行于坐标面）来截割曲面，研究所截得的一族曲线是怎样变化的，从这一族截线的变化情况即可推想出所表示的曲面的整体形状，这是认识曲面的重要方法，它的基本思想是把复杂的空间图形归结为比较容易认识的平面曲线。
8．空间曲线一般由两个曲面相交而得，这样的曲面有无穷多个，若曲线的形状不易把握时，可先将两个曲面方程通过消去未知数的方法得两个过曲线的射影柱面的方程，而射影柱面的形状是较容易把握的9．空间曲面和曲线除了利用图形上的点的坐标所满足的关系建立方程外，还常用参数方程来表示参数方程的特征是方程中既有表示坐标的变量，也有坐标以外的其他变量（称参数），且坐标变量，，分别可以表示成参数的函数10．曲线（直线）的参数方程均含一个参数，曲面（平面）的参数方程含两个参数简单的参数方程消去参数后可化得普通方程，但并不是所有的参数方程都能化成普通方程的三）1．三个向量相乘有混合积和双重向量积，其中双重向量积的讨论可见《空间解析几何》这类专业教材，对于混合积在高等数学中应用较多，它具有一个十分重要的几何意义，即当，，不共面时，的绝对值等于，，为棱的平行六面体的体积因此利用混合积可以解决求一类体积的问题2．三个以上的向量相乘的问题总可转化为三个向量相乘，因此可归结为三个向量相乘来讨论3．混合积的坐标表示与特征性质设，，，则，，，共面4．在学习曲面与空间曲线时，应注意两点：① 空间曲面方程的定义与平面曲线方程的定义相类似，通常将曲面看成具有某种特征性质的空间点的轨迹，用方程来表示，从集合的观点来看，曲面就是所有满足方程的点的集合。
② 要充分理解空间曲线一般方程的定义 这里强调用通过空间曲线的任意两个曲面的方程来表示，即用通过空间曲线的两个曲面方程联立起来表示空间曲线若由方程和表示的两个曲面，除去曲线：上的点是它们的公共点外，再也没有别的公共点，则用表示它们交线的方程但要注意，联立任意的两个曲面方程，它们可能不表示任何空间曲线，例如，从代数上看这是一个矛盾方程组，不存在解；从几何上看，这是两个同心的球面，它们没有任何的公共点第八章 多元函数微分法及其应用学习指导一、知识脉络 二、重点和难点1．重点：求极限、求偏导数、求全微分、求极值2．难点：极限存在、连续、偏导数存在、可微之间的关系，复合函数求偏导数三、问题与分析1．与仅当前者存在时，才相等2．二重极限、连续、偏导数存在、可微间的关系极限连续偏导数存在可微 3．多元函数中极限、连续、偏导数的运算法则、一阶微分形式的不变性、初等函数的连续性、最值定理、介值定理均与一元函数中相应内容和结论对应4．二重极限与二次极限是本质不同的两个概念1) 当动点沿任意路径趋于时，若都以同一数值为其极限，则这样得到的极限为二重极限；当，先后相继地趋于，时的极限为二次极限。
2) 两个二次极限存在且相等，不能得出二重极限存在例如：，容易验证两个二次极限，但是不存在3) 二重极限存在，不能得出二次极限存在例如：，因为在不含有两个坐标轴的平面点集上有定义，当时，有由于有界变量与无穷小量的乘积仍是无穷小量，可得，对任意给定的，由于，而不存在，所以不存在因此先对后对的二次极限不存在同理也不存在5．学习二次极限应注意以下三个问题：(1) 两个二次极限分别存在时不。