《高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题5 解析几何 第18讲 高考中的圆锥曲线专题限时集训 理-人教版高三数学试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题5 解析几何 第18讲 高考中的圆锥曲线专题限时集训 理-人教版高三数学试题（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题限时集训(十九)高考中的圆锥曲线(建议用时：4 5分钟)1(2014江苏高考)如图185，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.图185(1)若点C的坐标为，且BF2，求椭圆的方程；(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值解设椭圆的焦距为2c，则F1(c,0)，F2(c,0)(1)因为B(0，b)，所以BF2a.又BF2，故a. 3分因为点C在椭圆上，所以1，解得b21.故所求椭圆的方程为y21. 6分(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，所
2、以直线AB的方程为1.解方程组得所以点A的坐标为. 10分又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为，直线AB的斜率为，且F1CAB，所以1.又b2a2c2，整理得a25c2.故e2，因此e. 16分2(2016南通二调)如图186，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为.A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足2.图186(1)若点P的坐标为(2，)，求椭圆的方程；(2)设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且m，直线OA，OB的斜率之积为，求实数m的值【导学号：19592055】解(1)因为2，而P(2，)，所以A. 3分代入椭圆方程，得1，又椭
3、圆的离心率为，所以，由，得a22，b21，故椭圆的方程为y21. 6分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，因为2，所以P(2x1，2y1)因为m，所以(2x1x2，2y1y2)m(x3x2，y3y2)，即于是 10分代入椭圆方程，得1，即1， 14分因为A，B在椭圆上，所以1，1.因为直线OA，OB的斜率之积为，即，结合知0.将代入，得1，解得m. 16分3(2016江苏高考)如图187，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20，抛物线C：y22px(p0)图187(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点
4、P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围解(1)抛物线C：y22px(p0)的焦点为，3分由点在直线l：xy20上，得020，即p4.所以抛物线C的方程为y28x. 6分(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为yxb.证明：由消去x得y22py2pb0.(*) 10分因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1y2，从而(2p)24(2pb)0，化简得p2b0.方程(*)的两根为y1,2p，从而y0p.因为M(x0，y0)在直线l上，所以x02p.
5、 12分因此，线段PQ的中点坐标为(2p，p)因为M(2p，p)在直线yxb上，所以p(2p)b，即b22p.由知p2b0，于是p2(22p)0，所以p0)上图188(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点解(1)依题意，OB8，BOy30，设B(x，y)，则xOBsin 304，yOBcos 3012.因为点B(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y. 6分(2)证明：法一：由(1)知yx2，yx.设P(x0，y0)，则x00，且l的方程为yy0x0(xx0)，即y
6、x0xx.由得所以Q. 10分设M(0，y1)，令0对满足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1). 16分法二：由(1)知yx2，yx.设P(x0，y0)，则x00，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得 10分所以Q.取x02，此时P(2,1)，Q(0，1)，以PQ为直径的圆为(x1)2y22，交y轴于点M1(0,1)或M2(0，1)；取x01，此时P，Q，以PQ为直径的圆为22，交
7、y轴于M3(0,1)或M4.故若满足条件的点M存在，只能是M(0,1)以下证明点M(0,1)就是所要求的点因为(x0，y01)，所以2y022y022y020.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1). 16分5(2016南京盐城一模)如图189，在平面直角坐标系xOy中，设点M(x0，y0)是椭圆C：y21上一点，从原点O向圆M：(xx0)2(yy0)2r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2.图189(1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；(2)若r.求证：k1k2；求OPOQ的最大值解(1)因为椭圆C右焦点的坐标为(，0)，所以圆
8、心M的坐标为，4分从而圆M的方程为(x)22. 6分(2)证明：因为圆M与直线OP：yk1x相切，所以，即(45x)k10x0y0k145y0，同理，有(45x)k10x0y0k245y0，所以k1，k2是方程(45x)k210x0y0k45y0的两根，从而k1k2. 10分设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立解得x，y， 12分同理，x，y，所以OP2OQ2，当且仅当k1时取等号所以OPOQ的最大值为. 16分6.(2016苏州期末)如图1810，已知椭圆O：y21的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上，下顶点，点P是直线l：y2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线PC交椭圆于另一点
9、M.图1810(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求FBM的面积；(2)记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；求的取值范围解(1)由题意B(0,1)，C(0，1)，焦点F(，0)，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为1，即yx1，联立，解得或(舍)，即M. 3分连结BF，则直线BF：1，即xy0，而BFa2，M到直线BF的距离为d.故SMBFBFd2. 6分(2)法一：设P(m，2)，且m0，则直线PM的斜率为k，则直线PM的方程为yx1，联立化简得x2x0，解得M， 8分所以k1m，k2，所以k1k2m为定值. 12分由知，(m,3)，所以(m,3)，令m24t4，故t7，因为yt7在t(4，)上单调递增，所以t7479，即的取值范围为(9，). 16分法二：设点M(x0，y0)(x00)，则直线PM的方程为yx1，令y2，得P.所以k1，k2，所以k1k2(定值). 10分由知，所以3(y02)3(y02)3(y02).令ty01(0,2)，则t7，因为yt7在t(0,2)上单调递减，所以t7279，即的取值范围为(9，). 16分
