《上海市闵行第三中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学Word版含解析》由会员分享,可在线阅读,更多相关《上海市闵行第三中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学Word版含解析(20页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、闵行三中2023学年高一年级第一学期12月月考数学试卷一、填空题(16题每空4分,712题每空5分,共54分)1. 函数的定义域是_.2. 函数(且)恒过定点_.3. 函数,则_.4. 已知,若幂函数奇函数,且在上为严格减函数,则_.5. 已知,则用a、b表示_.6. 已知,则最小值为_7. 函数的奇偶性是_.8. 若函数在上是严格减函数,则实数取值范围是_.9. 已知函数,若方程有3个不同的根,则实数的取值范围是_.10. 已知函数是奇函数,且当时,则当时,_11. 若函数值域为,则的取值范围为_12. 某同学向老师请教一题:当时,函数图像恒在直线的上方(不含该直线),求实数的取值范围.老师
2、告诉该同学:“恒成立,当且仅当时取等号.且方程在上有解”,根据老师的提示可得的取值范围是_.二、选择题(1314题每空4分,1516题每空5分,共18分)13. 下列四组函数中,与表示同一函数是( )A. ,B. ,C. ,D. ,14. 在同一平面直角坐标系中,二次函数与指数函数的图像关系可能为( )A. B. C. D. 15. 若函数是定义在上的偶函数,在区间上是严格减函数,且,则不等式的解集为( )A. B. C. D. 16. 定义域为且同时满足以下两个条件:(1)对任意的,恒有;(2)若,则有成立,这样的函数,我们称为“函数”,下列判断:若为“函数”,则;若为“函数”,则在上为严格
3、增函数;函数在上是“函数”;函数在上是“函数”.其中,正确结论的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3三、解答题(本大题共5小题,共78分)17. 已知集合,.(1)求A和B;(2)若,且,求的取值范围.18. 已知函数.(1)当时,求该函数的值域;(2)若不等式对于恒成立,求实数的取值范围.19. 某家庭进行网上理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元(如图).(1)分别写出两种产品的年收益与投资的函数关系式;(2)该家庭现有20
4、万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大年收益,其最大年收益多少万元?20. 已知定义域为的函数为奇函数.(1)求函数解析式(2)证明函数单调性(3)若关于不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.21. 定义在区间上的函数满足:若对任意,都有,则称是上的上凸函数(1)判断函数是否为上凸函数?为什么?(2)若函数在上是上凸函数,求取值范围;(3)在(2)的条件下,当时,不等式恒成立,求实数的取值范围闵行三中2023学年高一年级第一学期12月月考数学试卷一、填空题(16题每空4分,712题每空5分,共54分)1. 函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析】利用二次根式的意义计算
5、即可.【详解】由题意可知,即函数的定义域为.故答案为:2. 函数(且)恒过定点_.【答案】【解析】【分析】令指数,即即可得解.【详解】当时,所以函数(且)恒过定点.故答案为:.3 函数,则_.【答案】2【解析】【分析】由解析式先求,再求即得.【详解】因为,所以.故答案为:24. 已知,若幂函数奇函数,且在上为严格减函数,则_.【答案】-1【解析】【分析】根据幂函数在上为严格减函数,可得,再由幂函数奇函数即可得答案.【详解】解:因为幂函数在上为严格减函数,所以,所以,又因为幂函数奇函数,且,所以,故答案为:-15. 已知,则用a、b表示_.【答案】【解析】【分析】由对数的换底公式及对数运算法则求
6、解【详解】,故答案为:6. 已知,则的最小值为_【答案】32【解析】【分析】根据基本不等式结合指数的运算即可得解.【详解】因为,所以.故答案:.7. 函数的奇偶性是_.【答案】奇函数【解析】【分析】利用对数函数的定义域以及函数奇偶性的定义求解.【详解】由函数,可得,解得,所以,所以,所以函数是奇函数,故答案为:奇函数.8. 若函数在上是严格减函数,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由复合函数单调性以及对数函数的定义域即可得解.【详解】因为函数关于单调递增,函数在上是严格减函数,所以关于在上是严格减函数,且,所以当且仅当,解得,即实数的取值范围是.故答案为:.9. 已知函数,若方程有
7、3个不同的根,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】将方程的根的个数转换为函数图象的交点的个数,利用指数函数一次函数单调性画出函数图象,通过平移直线来找到满足题意的实数的取值范围即可.【详解】由题意,根据(复合)函数单调性画出函数大致图象如图所示,由题意方程有3个不同的根,则函数图象有三个不同的交点,通过平移直线发现,函数图象有三个不同的交点当且仅当,所以实数的取值范围是.故答案为:.10. 已知函数是奇函数,且当时,则当时,_【答案】【解析】【分析】根据题意可得,且,当时,代入即可,注意时的情况可【详解】由函数是奇函数,则,且,又当时,则当时,则,又当时不满足式,所以故答案为:11.
8、 若函数值域为,则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】先设函数值域为,再根据对数函数定义域和值域的关系,可得,再分和两种情况讨论求解【详解】设函数值域为,由函数值域为,则,当时,的值域为,符合题意;当时,由,解得,所以的取值范围为故答案为:12. 某同学向老师请教一题:当时,函数图像恒在直线的上方(不含该直线),求实数的取值范围.老师告诉该同学:“恒成立,当且仅当时取等号.且方程在上有解”,根据老师的提示可得的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由参变量分离法可得出,利用已知条件求出函数在上的最小值,由此可得出实数a的取值范围.【详解】因为,所以,由可得,由题意恒成立,当且仅当时取等号;且
9、方程在上有解,所以,当且仅当时,等号成立,所以,因此实数a的取值范围是.故答案为:.【点睛】结论点睛:利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立,可根据以下原则进行求解:(1),;(2),;(3),;(4),.二、选择题(1314题每空4分,1516题每空5分,共18分)13. 下列四组函数中,与表示同一函数是( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】D【解析】【分析】对于ABC而言,说明两函数的定义域不同即可排除,对于D而言由绝对值的定义可以得到两函数的定义域、对应法则一样,由此即可得解.【详解】对于A,的定义域分别为,故A不符题意;对于B;,定义域分别为,故B不符题意;对于C,的定义域
10、分别为,故C不符题意;对于D,因为,其定义域、对应法则都是一样的,故D符合题意.故选:D14. 在同一平面直角坐标系中,二次函数与指数函数的图像关系可能为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的图象特征,结合开口方向以及的正负,即可确定与1的关系,即可结合选项逐一求解.【详解】对于A,二次函数开口向上,则,为减函数,符合题意,对于B,二次函数开口向上,则,此时不是指数函数,不符合题意,对于C,二次函数开口向下,则,此时函数 不是指数函数,不符合题意,对于D,二次函数开口向下,则,指数函数增函数,不符合题意,故选:A15. 若函数是定义在上的偶函数,在区间上是严格减
11、函数,且,则不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用偶函数的性质,分段解不等式即得.【详解】函数是上的偶函数,在上是严格减函数,则在上是严格增函数,不等式化为:或,解得或,所以不等式的解集为.故选:B16. 定义域为且同时满足以下两个条件:(1)对任意的,恒有;(2)若,则有成立,这样的函数,我们称为“函数”,下列判断:若为“函数”,则;若为“函数”,则在上为严格增函数;函数在上是“函数”;函数在上是“函数”.其中,正确结论的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据“函数”的定义,对四个判断逐个分析可得答案.【详解】对于,若为
12、“函数”,由(1)可知,由(2)可知,即,故,故正确;对于,当恒成立时,满足(1)(2),但是在上不是严格增函数,故不正确;对于,令,则,此时,即不满足(2),所以函数在上不是“函数”,故不正确;对于,当时,为增函数,所以,所以满足(1),当时,所以满足(2),故函数在上是“函数”,故正确.综上所述:正确,不正确.故选:C【点睛】关键点点睛:对函数新定义的正确理解和运用是解题关键.三、解答题(本大题共5小题,共78分)17. 已知集合,.(1)求A和B;(2)若,且,求的取值范围.【答案】(1), (2)【解析】【分析】(1)分别根据指数函数、对数函数单调性以及运算性质化简运算即可得解.(2)
13、由题意当且仅当,从而,解不等式即可得解.【小问1详解】由题意,解得,即.【小问2详解】由(1)可知,若,则,所以当且仅当,解得,所以的取值范围.18. 已知函数.(1)当时,求该函数的值域;(2)若不等式对于恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)将变形为,再令,利用换元法转换为二次函数求值域;(2)方法一:将不等式整理为对恒成立,再利用二次函数的性质分类讨论最值求解;方法二:将不等式变形为对恒成立,则求出的最大值即可得解.【详解】(1),令,则时,此时,所以时,函数的值域为;(2)对于恒成立,方法一:即对恒成立,即对恒成立,设,则,当,即时,所以;当,即时,所以;综上所述,.方法二:即对恒成立,对恒成立,设,在上单调递增,.【点睛】本题考查复合函数求值域,考查含参不等式恒成立问题,属于中档题.在解决含参不等式恒(能)成立问题时,常见的方法有分类讨论法和分离参数法.19. 某家庭进行网上理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元(如图).(1)分别写出两种产品的年收益与投资的函数关系