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1、上海市虹口区市级名校2024届高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1双曲线的左顶点为，右焦点，若直线与该双曲线交于、两点，为等腰直角三角形，则该双曲线离心率为（）A.B.C.D.2（一）单项选择函数在处的导数等于（）A.0B.C.1D.e3若椭圆上一点到C的两个焦点的
2、距离之和为，则（ ）A.1B.3C.6D.1或34若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A.B.C.D.5已知，则的最小值为（）A.B.C.D.6圆心在x轴负半轴上，半径为4，且与直线相切的圆的方程为（）A.B.C.D.7已知空间向量，且与互相垂直，则k的值是（）A.1B.C.D.8已知命题p：“是方程表示椭圆”的充要条件；命题q：“是a，b，c成等比数列”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（）A.B.C.D.9在正方体中，则（）A.B.C.D.10点，是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A.B.C.D.11现要完成下列两项调查：从某社区70户高收入家庭、335户中等
3、收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况这两项调查宜采用的抽样方法是（）A简单随机抽样，分层抽样B.分层抽样，简单随机抽样C.都用简单随机抽样D.都用分层抽样12已知一个圆锥体积为，任取该圆锥的两条母线a，b，若a，b所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13过抛物线：的焦点的直线交于，两点，若，则线段中点的横坐标为_14在中，若面积，则_15已知经过两点，的直线的斜率为1，则a的值为_.16正方体的棱长为2，点为底面正方形的中心，点在侧面正方形的
4、边界及其内部运动，若，则点的轨迹的长度为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（是参数）（1）求直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值18（12分）已知椭圆，其上顶点与左右焦点围成的是面积为的正三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点的直线(的斜率存在)交椭圆于两点，弦的垂直平分线交轴于点，问：是否是定值？若是，求出定值：若不是，说明理由.19（12分）已知点，圆，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点P.（1）求动点
5、P的轨迹的方程；（2）过点的动直线l交曲线C于A、B两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.20（12分）已知椭圆C：的长轴长为4，离心率e是方程的一根（1）求椭圆C的方程；（2）已知O是坐标原点，斜率为k的直线l经过点，已知直线l与椭圆C相交于点A，B，求面积的最大值21（12分）（1）求过点，且与直线垂直的直线方程；（2）甲，乙，丙等7名同学站成一排，若甲和乙相邻，但甲乙二人都不和丙相邻，则共有多少种不同排法？22（10分）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和.参考答案一、选择题：本题
6、共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】求出，分析可得，可得出关于、的齐次等式，由此可求得该双曲线的离心率的值.【详解】联立，可得，则，易知点、关于轴对称，且为线段的中点，则，又因为为等腰直角三角形，所以，即，即，所以，可得，因此，该双曲线的离心率为.故选：A.2、B【解析】利用导数公式求解.【详解】因为函数，所以，所以，故选；B3、B【解析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.【详解】若，则由得（舍去）；若，则由得故选：B.4、A【解析】两直线垂直，斜率之积为，曲线与直线相切，联立方程令.【详解】法一：直线，所以，所以切线的，设切线
7、的方程为，联立方程，所以 ，令，解得，所以切线方程为.法二：直线，所以，所以切线的，所以令，所以，带入曲线方程得切点坐标为，所以切线方程为，化简得.故选：A.5、B【解析】将代数式展开，然后利用基本不等式可求出该代数式的最小值.【详解】，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.故选B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于中等题.6、A【解析】根据题意，设圆心为坐标为，由直线与圆相切的判断方法可得圆心到直线的距离，解得的值，即可得答案【详解】根据题意，设圆心为坐标为，圆的半径为4，且与直线相切，则圆心到
8、直线的距离，解得：或13（舍，则圆的坐标为，故所求圆的方程为，故选：A7、D【解析】由0可求解【详解】由题意，故选：D8、C【解析】先判断命题p,q的真假，从而判断的真假，再根据“或”“且”命题的真假判断方法，可得答案.【详解】当时，表示圆，故命题p：“是方程表示椭圆”的充要条件是假命题，命题q：“是a，b，c成等比数列”的必要不充分条件为真命题，则是真命题，是假命题，故是假命题，是假命题，是真命题，是假命题，故选：C9、A【解析】根据空间向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因为，而，所以有，故选：A10、A【解析】由，当三点共线时，取得最值【详解】设是椭圆的右焦点，
9、则又因为，所以，则故选：A11、B【解析】通过简单随机抽样和分层抽样的定义辨析得到选项【详解】在中，由于购买能力与收入有关，应该采用分层抽样；在中，由于个体没有明显差别，而且数目较少，应该采用简单随机抽样故选：B12、B【解析】设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，根据体积公式计算可得，利用扇形的面积公式计算即可求得结果.【详解】如图，设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，所以，圆锥的体积，解得，所以该圆锥的侧面积为.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题意，作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点
10、坐标以及准线方程，分析可得为直角梯形中位线，由抛物线的定义分析可得答案【详解】如图，抛物线的焦点为，准线为，分别过，作准线的垂线，垂足为，则有过的中点作准线的垂线，垂足为，则为直角梯形中位线，则，即，解得.所以的横坐标为故答案为：14、#【解析】结合三角形面积公式与余弦定理得，进而得答案.【详解】解：由三角形的面积公式得，所以，因为，所以，即，因为，所以故答案为：15、6【解析】根据经过两点的直线斜率计算公式即可求的参数a【详解】由题意可知，解得故答案为：616、【解析】取中点，利用线面垂直的判定方法可证得平面，由此可确定点轨迹为，再计算即可.【详解】取中点，连接，平面，平面，又四边形为正方形
11、，又，平面，平面，又平面，；由题意得：，；平面，平面，在侧面的边界及其内部运动，点轨迹为线段；故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）直线的直角坐标方程是，曲线的普通方程是（2）【解析】（1）利用极坐标与直角坐标互化的公式进行求解，消去参数求出普通方程；（2）设曲线上任一点以，利用点到直线距离公式和辅助角公式进行求解.【小问1详解】因为，所以，即，将，代入，得直线的直角坐标方程是由得曲线的普通方程是【小问2详解】设曲线上任一点以，则点到直线的距离当时，故曲线上的点到直线的距离的最大值为18、（1）；（2）是定值，定值为4【解析】（1）根据正三角形性
12、质与面积可求得即可求得方程；（2）当直线斜率不为0时，设其方程代入椭圆方程利用韦达定理求得两根关系式，进而求得的表达式，最后求比值即可；当直线斜率为0时直接求解即可【详解】（1）为正三角形，可得，且，椭圆的方程为.（2）分以下两种情况讨论：当直线斜率不为0时，设其方程为，且，联立，消去得，则，且，弦的中点的坐标为，则弦的垂直平分线为，令，得，又，；当直线斜率为0时，则，则.综合得是定值且为4【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值19、（1）；（2）存在，T(0，1)【解析】
13、(1)根据椭圆的定义，结合即可求P的轨迹方程；(2)假设存在T(0，t)，设AB方程为，联立直线方程和椭圆方程，代入0即可求出定点T.【小问1详解】由题可知，则，由椭圆定义知P的轨迹是以F1、为焦点，且长轴长为的椭圆，P的轨迹方程为C：；【小问2详解】假设存在T(0，t)满足题意，易得AB的斜率一定存在，否则不会存在T满足题意，设直线AB的方程为，联立，化为，易知恒成立，(*)由题可知，将(*)代入可得：即，解，在y轴上存在定点T(0，1)，使以AB为直径的圆恒过这个点T.20、（1）；（2）.【解析】（1）待定系数法求椭圆的方程；（2）设直线的方程为，用“设而不求法”表示出三角形OAB的面积
14、.令转化为关于t的函数，利用函数求最值.【详解】（1）依题意得：，.方程的根为或.椭圆的离心率，椭圆方程为.（2）设直线的方程为，由，得，则，点到直线的距离为，.令，则.在单调递增，时.有最小值3.此时有最大值.面积的最大值为.21、（1）；（2）960【解析】（1）根据题意，设要求直线为，将点的坐标代入，求出的值，即可得答案；（2）根据题意，分2步进行分析：先将除甲乙丙之外的4人全排列，再将甲乙看成一个整体，与丙一起安排在4人的空位中，由分步计数原理计算可得答案【详解】解：（1）根据题意，设所求直线为，又由所求直线经过点，即，则，即所求直线；（2）根据题意，分2步进行分析：先将除甲乙丙之外的4人全排列，有种排法，再将甲乙看成一个整体，与丙一起安排在4人的空位中，有种排法，则有种排法22、（1） （2）【解析】（1）根据与的关系，分和两种情况，求出，再判断是否合并；（2）利用错位相减法求出数列的前n项和
