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1、天津市宝坻区高中2023-2024学年数学高二上期末质量跟踪监视试题注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给
2、出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1双曲线的渐近线的斜率是（）A.1B.C.D.2已知直线与直线垂直，则实数a为（ ）A.B.或C.D.或3已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（ ）A 或1B.或C.D.14从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，两数和为偶数的概率为（ ）A.B.C.D.5设是等差数列的前n项和，若，则（）A.26B.7C.10D.136命题：，否定是（）A.，B.，C.，D.，7用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，不等式的左边增加了（）A.B.C.D.8绕着它的一边旋转一周得到的几何体可能是（）A.圆台B.圆台或两个圆锥的组合体C.圆锥或两个圆锥的组合体D
3、.圆柱9已知P是直线上的动点，PA，PB是圆的切线，A，B为切点，C为圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是（ ）A 2B.C.3D.10在等比数列中,，,则等于A.B.C.D.或11已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数n的值是（ ）A.B.C.D.12在中，、所对的边分别为、，若，则（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13曲线在处的切线斜率为_.14已知在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若的面积为2，边上中线的长为且，则外接圆的面积为_15若圆被直线平分，则值为_16若关于的不等式恒成立，
4、则实数的取值范围是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知抛物线，过点作直线（1）若直线的斜率存在，且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程（2）若直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，求弦长18（12分）已知椭圆F：经过点且离心率为，直线和是分别过椭圆F的左、右焦点的两条动直线，它们与椭圆分别相交于点A、B和C、D，O为坐标原点，直线AB和直线CD相交于M记直线的斜率分别为，且（1）求椭圆F标准方程（2）是否存在定点P，Q，使得为定值若存在，请求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由19（12分）设函数（1）若，求的单调区间和极值；（2）在（1）的条件
5、下，证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点；（3）若存在，使得，求的取值范围20（12分）如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角正弦值.21（12分）在二项式展开式中，第3项和第4项的二项式系数比为.（1）求n的值及展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项是第几项.22（10分）设函数（1）若在处取得极值，求a的值；（2）若在上单调递减，求a的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由双曲线的渐近线方程为：，化简即可得到答案.【详解】双曲线的渐近
6、线方程为：，即，渐近线的斜率是.故选：B2、B【解析】由题可得，即得.【详解】直线与直线垂直，解得或.故选：B.3、A【解析】分截距都为零和都不为零讨论即可.【详解】当截距都为零时，直线过原点，；当截距不为零时，.综上：或.故选：A.4、B【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从中任取个不同的数的方法有，共种，其中和为偶数的有共种，所以所求的概率为.故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.5、C【解析】直接利用等差数列通项和求和公式计算得到答案.【详解】，解得，故.故选：C.6、D【解析】根据给定条件利用全称量词命题的否定是存在量词命题直接写
7、出作答.【详解】命题：，是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题：，的否定是：，.故选：D7、B【解析】依题意，由递推到时，不等式左边为，与时不等式的左边作差比较即可得到答案【详解】用数学归纳法证明等式的过程中，假设时不等式成立，左边，则当时，左边，从到时，不等式的左边增加了故选：B8、C【解析】讨论是按直角边旋转还是按斜边旋转【详解】按直角边选择可得下图圆锥：如果按直角边旋转可得下图的两个圆锥的组合体：故选：C9、D【解析】由圆C的标准方程可得圆心为（1，1），半径为1，根据切线的性质可得四边形PACB面积等于，故求解最小时即可确定四边形PACB面积的最小值.【详解】圆C：x2+y2-
8、2x-2y+1=0 即，表示以C（1，1）为圆心，以1为半径的圆，由于四边形PACB面积等于2=，而，故当最小时，四边形PACB面积最小，又的最小值等于圆心C到直线l：的距离d，而，故四边形PACB面积的最小值为，故选：D10、D【解析】为等比数列，又为的两个不等实根，或故选D11、C【解析】首先根据抛物线焦半径公式得到，从而得到，再根据曲线的一条渐近线与直线AM平行，斜率相等求解即可.【详解】由题知：，解得，抛物线.双曲线的左顶点为，因为双曲线的一条渐近线与直线平行，所以，解得.故选：C12、B【解析】利用正弦定理，以及大边对大角，结合正弦定理，即可求得.【详解】根据题意，由正弦定理，可得：
9、，解得，故可得或，由，可得，故故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、#【解析】首先求得的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率.【详解】因为函数的导数为，所以可得在处的切线斜率，故答案为：14、或【解析】由已知，结合正弦定理边角关系及三角形内角的性质可得，再根据三角形面积公式、余弦定理列方程求边长b、c，应用余弦定理求边长a，根据正弦定理求外接圆半径，再用圆的面积公式求面积.【详解】由题设及正弦定理边角关系有，又，又，即又据题意，得，且，或，故或，外接圆的半径或，外接圆的面积为或故答案为：或15、；【解析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求解即可【详解】解：的圆心圆被直线
10、平分，可知直线经过圆的圆心，可得解得；故答案为：1【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题16、【解析】设由题可知，当时，可得适合题意，当时，可求函数的最小值即得，当时不合题意，即得.【详解】设，由题可知，当时，适合题意，所以，当时，令，则，此时时，单调递减，单调递增，又，即，解得，当时，时，故的值有正有负，不合题意；综上，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，设由题可知，当时，利用导数可求函数的最小值，结合，可得，进而通过解，即得.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或；（2）8【解析】（1）
11、根据题意设直线的方程为，联立，消去得，因为只有一个公共点，则求解.（2）抛物线的焦点为，设直线的方程为，联立，消去得，再根据过抛物线焦点的弦长公式求解.【详解】（1）设直线的方程为，联立，消去得，则，解得或，直线的方程为：或（2）抛物线的焦点为，则直线的方程为，设，联立，消去得，【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18、（1）； （2）存在点，使得为定值.【解析】（1）设，结合条件即求；（2）由题可设直线方程，利用韦达定理法可得，再结合条件可得点的轨迹方程为，然后利用椭圆的定义即得结论.【小问1详解】设，椭圆方程为：，椭圆过点，解得t=1，所以椭圆F
12、的方程是【小问2详解】由题可得焦点的坐标分别为，当直线AB或CD的斜率不存在时，点M的坐标为或，当直线AB和CD的斜率都存在时，设斜率分别为，点，直线AB为，联立，得则，同理可得，因为，所以，化简得由题意，知，所以设点，则，所以，化简得，当直线或的斜率不存在时，点M的坐标为或，也满足此方程所以点在椭圆上，根据椭圆定义可知，存在定点，使得为定值【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理法及题设条件求出点M的轨迹方程，再结合椭圆的定义，从而问题得到解决.19、（1）递减区间是，单调递增区间是，极小值（2）证明见解析（3）【解析】（1）对函数进行求导通分化简，求出解得，在列出与在区间上的表格，即可
13、得到答案.（2）由（1）知，在区间上的最小值为，因为存在零点，所以，从而在对进行分类讨论，再利用函数的单调性得出结论.（3）构造函数，在对进行求导，在对进行分情况讨论，即可得的得到答案.【小问1详解】函数的定义域为，由解得与在区间上的情况如下： 所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值，无极大值【小问2详解】由（1）知，在区间上的最小值为因为存在零点，所以，从而当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点当时，在区间上单调递减，且，所以在区间上仅有一个零点综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点【小问3详解】设，若，则，符合题意若，则，故当时，在上单调递增所以，存在，
14、使得的充要条件为，解得若，则，故当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增所以，存在，使得的充要条件为，而，所以不合题意综上，的取值范围是【点睛】本题考查求函数的单调区间和极值、证明给定区间只有一个零点问题，以及含参存在问题，属于难题.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果【详解】（1）因
