《福建省东山第二中学2024届校高三下期摸底考试数学试题试卷》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建省东山第二中学2024届校高三下期摸底考试数学试题试卷（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、福建省东山第二中学2024届校高三下期摸底考试数学试题试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（ ）ABCD2已知下列命题：“”的否定是“”；已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题；“”是“”的充
2、分不必要条件；“若，则且”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（ ）ABCD3函数的图象大致为ABCD4集合，则（ ）ABCD5是平面上的一定点，是平面上不共线的三点，动点满足 ，则动点的轨迹一定经过的（ ）A重心B垂心C外心D内心63本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ）ABCD7已知，则等于（ ）ABCD8已知抛物线：，点为上一点，过点作轴于点，又知点，则的最小值为（ ）ABC3D59已知是函数图象上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ）ABC0D10曲线在点处的切线方程为，则（ ）ABC4D811如图，四面体中，面和面
3、都是等腰直角三角形，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为（ ）ABCD12已知，则（ ）A2BCD3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13 “今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（按30天计算）共织布390尺”则每天增加的数量为_尺，设该女子一个月中第n天所织布的尺数为，则_14如图，、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，若，则双曲线的离心率是_.15如图梯形为直角梯形，图中阴影部分为曲线与直线围成的平
4、面图形，向直角梯形内投入一质点，质点落入阴影部分的概率是_16已知集合，则_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，为实数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与曲线交于，两点，线段的中点为 （1）求线段长的最小值； （2）求点的轨迹方程18（12分）已知函数，.（1）证明：函数的极小值点为1；（2）若函数在有两个零点，证明：.19（12分）在中，内角的对边分别是，已知.（1）求角的值；（2）若，求的面积20（12分）曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建
5、立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）过原点且倾斜角为的射线与曲线分别交于两点（异于原点），求的取值范围.21（12分）已知首项为2的数列满足.（1）证明：数列是等差数列（2）令，求数列的前项和.22（10分）椭圆：（）的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求证：直线恒过一个定点.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，可得有解，令，则，对分
6、类讨论，得出时，取得极大值，也即为最大值，进而得出结论.【题目详解】解：由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，即有解，令，则，则当时，；当时，故时，取得极大值，也即为最大值，当趋近于时，趋近于，所以满足条件故选：C.【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题2、B【解题分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断【题目详解】“”的否定是“”，正确；已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题，正确；“”是“”的必要不充分条件,错误；“若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命
7、题，错误.故选：B【题目点拨】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础3、D【解题分析】由题可得函数的定义域为，因为，所以函数为奇函数，排除选项B；又，所以排除选项A、C，故选D4、D【解题分析】利用交集的定义直接计算即可.【题目详解】，故，故选：D.【题目点拨】本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.5、B【解题分析】解出，计算并化简可得出结论【题目详解】（），即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过ABC的垂心故选B【题目点拨】本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算是关键6、D【解题分析】把5本
8、书编号，然后用列举法列出所有基本事件计数后可求得概率【题目详解】3本不同的语文书编号为，2本不同的数学书编号为，从中任意取出2本，所有的可能为：共10个，恰好都是数学书的只有一种，所求概率为故选：D.【题目点拨】本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率7、B【解题分析】由已知条件利用诱导公式得，再利用三角函数的平方关系和象限角的符号，即可得到答案.【题目详解】由题意得 ，又，所以，结合解得，所以 ，故选B.【题目点拨】本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题.8、C【解题分析】由,再运用三点共线时和最小，
9、即可求解.【题目详解】.故选：C【题目点拨】本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题9、C【解题分析】先画出函数图像和圆，可知，若设，则，所以，而要求的最小值，只要取得最大值，若设圆的圆心为，则，所以只要取得最小值，若设，则，然后构造函数，利用导数求其最小值即可.【题目详解】记圆的圆心为，设，则，设，记，则，令，因为在上单调递增，且，所以当时，；当时，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以（当时等号成立）.故选：C【题目点拨】此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.10、B【解题分析】求函数导数，
10、利用切线斜率求出，根据切线过点求出即可.【题目详解】因为，所以，故，解得，又切线过点，所以，解得，所以，故选：B【题目点拨】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.11、B【解题分析】分别取、的中点、，连接、，利用二面角的定义转化二面角的平面角为，然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，在中计算出，再利用勾股定理计算出，即可得出球的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案【题目详解】如下图所示，分别取、的中点、，连接、，由于是以为直角等腰直角三角形，为的中点，且、分别为、的中点，所以，所以，所以二面角的平面角为，则，且，所以，是以为直角的等腰直角三角形，所以，的外心为点，
11、同理可知，的外心为点，分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，则点在平面内，如下图所示，由图形可知，在中，所以，所以，球的半径为，因此，球的表面积为.故选：B.【题目点拨】本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题12、A【解题分析】利用分段函数的性质逐步求解即可得答案【题目详解】，；故选：【题目点拨】本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、 52 【解题分析】设从第2天开始,每天比前一天多织尺布,由等差数列前项和公式求
12、出,由此利用等差数列通项公式能求出.【题目详解】设从第2天开始,每天比前一天多织d尺布,则,解得,即每天增加的数量为，故答案为，52.【题目点拨】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.14、【解题分析】根据三角形中位线证得，结合判断出垂直平分，由此求得的值，结合求得的值.【题目详解】，为中点，垂直平分，即，即.故答案为：【题目点拨】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15、【解题分析】联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再利用定积分求出阴影部分的面积，利用梯形的面积公式求出，最后根据几何概型的概
13、率公式计算可得；【题目详解】解：联立解得或，即，故答案为：【题目点拨】本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积，属于中档题.16、【解题分析】由于，则三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】（1）将曲线的方程化成直角坐标方程为，当时，线段取得最小值，利用几何法求弦长即可.（2）当点与点不重合时，设，由利用向量的数量积等于可求解，最后验证当点与点重合时也满足.【题目详解】解曲线的方程化成直角坐标方程为即圆心，半径，曲线为过定点的直线，易知在圆内，当时，线段长最小为当点与点不重合时，设， 化简得当点与点重合时，也满足上
14、式，故点的轨迹方程为【题目点拨】本题考查了极坐标与普通方程的互化、直线与圆的位置关系、列方程求动点的轨迹方程，属于基础题.18、（1）见解析（2）见解析【解题分析】(1)利用导函数的正负确定函数的增减.(2) 函数在有两个零点，即方程在区间有两解， 令通过二次求导确定函数单调性证明参数范围.【题目详解】解：（1）证明：因为， 当时，所以在区间递减；当时，所以，所以在区间递增； 且，所以函数的极小值点为1（2）函数在有两个零点，即方程在区间有两解， 令，则令，则，所以在单调递增， 又， 故存在唯一的，使得， 即， 所以在单调递减，在区间单调递增，且， 又因为，所以， 方程关于的方程在有两个零点，由的
