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1、广东省深圳市龙岗区东升学校2024届高三下学期4月数学试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1数列的通项公式为则“”是“为递增数列”的（ ）条件A必要而不充分B充要C充分而不必要D即不充分也不必要2已知抛物线：，点为上一点，过点作轴于点，又知点，则的最
2、小值为（ ）ABC3D53已知集合，则ABCD4若均为任意实数，且，则 的最小值为（ ）ABCD5“是函数在区间内单调递增”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A3BCD7已知集合A0，1，B0，1，2，则满足ACB的集合C的个数为（）A4B3C2D18设复数满足，则（ ）A1B-1CD9如图，内接于圆，是圆的直径，则三棱锥体积的最大值为（ ）ABCD10等腰直角三角形的斜边AB为正四面体侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体EBCD的体积有最大值和最小值；（2
3、）存在某个位置，使得；（3）设二面角的平面角为，则；（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（ ）A1B2C3D411已知集合，则集合子集的个数为（ ）ABCD12已知椭圆内有一条以点为中点的弦，则直线的方程为( )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知复数对应的点位于第二象限，则实数的范围为_.14如图，在中，点在边上，且，将射线绕着逆时针方向旋转，并在所得射线上取一点，使得，连接，则的面积为_15已知三棱锥中，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为_.16已知集合，其中，.且，则集合中所有元素的和为_.
4、三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知：，：，：.（1）求与的极坐标方程（2）若与交于点A，与交于点B，求的最大值.18（12分）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，离心率为，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）过左焦点的直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，若，求直线l的斜率k.19（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，（）求与平面所成角的正弦（）求二面角的余弦值20（12分）已知函数有两个零点.(1)求的取值范围；(2)是否存在实数， 对于符合题意的任意，当
5、 时均有?若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由21（12分）如图，底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD，BE与平面ABCD所成的角为.（1）求证：平面平面BDE；（2）求二面角B-EF-D的余弦值.22（10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）和曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点是射线与直线的公共点，点是与曲线的公共点，求的最大值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】根据递增数列的特点可知
6、，解得，由此得到若是递增数列，则，根据推出关系可确定结果.【题目详解】若“是递增数列”，则，即，化简得：，又，则是递增数列，是递增数列，“”是“为递增数列”的必要不充分条件故选：.【题目点拨】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.2、C【解题分析】由,再运用三点共线时和最小，即可求解.【题目详解】.故选：C【题目点拨】本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题3、D【解题分析】因为，所以，故选D4、D【解题分析】该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减
7、去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.【题目详解】由题意可得，其结果应为曲线上的点与以为圆心，以为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线上的点与圆心的距离的最小值，在曲线上取一点，曲线有在点M处的切线的斜率为，从而有，即，整理得，解得，所以点满足条件，其到圆心的距离为，故其结果为，故选D.【题目点拨】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.5、C【解题分析】，令解得当，的图像如下图当，的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】
8、考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.6、B【解题分析】由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：直三棱柱的体积为，消去的三棱锥的体积为，几何体的体积，故选B. 点睛：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键；几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积.7、A【解题分析】由可确定集合中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【题目详解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4种情况，所以选A项.【题目点拨】考查集合并集运算，属于简
9、单题.8、B【解题分析】利用复数的四则运算即可求解.【题目详解】由.故选：B【题目点拨】本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.9、B【解题分析】根据已知证明平面，只要设，则，从而可得体积，利用基本不等式可得最大值【题目详解】因为，所以四边形为平行四边形.又因为平面，平面，所以平面，所以平面.在直角三角形中，设，则，所以，所以.又因为，当且仅当，即时等号成立，所以.故选：B【题目点拨】本题考查求棱锥体积的最大值解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为，用建立体积与边长的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值10、C【解题分析】解：对
10、于（1），当CD平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，当CD平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，四面体EBCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确；对于（2），连接DE，若存在某个位置，使得AEBD，又AEBE，则AE平面BDE，可得AEDE，进一步可得AEDE，此时EABD为正三棱锥，故（2）正确；对于（3），取AB中点O，连接DO，EO，则DOE为二面角DABE的平面角，为，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，0，），DAE，），所以DAE不成立（3）不正确；对于（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，P到BC的距离为：
11、dPBC，因为1，所以点P的轨迹为椭圆（4）正确故选：C点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.11、B【解题分析】首先求出，再根据含有个元素的集合有个子集，计算可得.【题目详解】解：，子集的个数为.故选：.【题目点拨】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题12、C【解题分析】设，则，相减得到，解得答案.【题目详解】设，设直线斜率为，则，相减得到：，的中点为，即，故，直线的方程为：.故选：.【题目点拨】本题考查了椭圆内点差法求直线方程，意在考查学生的
12、计算能力和应用能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】由复数对应的点，在第二象限，得，且，从而求出实数的范围【题目详解】解：复数对应的点位于第二象限，且，故答案为：【题目点拨】本题主要考查复数与复平面内对应点之间的关系，解不等式，且 是解题的关键，属于基础题14、【解题分析】由余弦定理求得，再结合正弦定理得，进而得，得，则面积可求【题目详解】由，得，解得.因为，所以，所以.又因为，所以.因为，所以.故答案为【题目点拨】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题15、【解题分析】设的中心为T，AB的中点为N，AC中点为M，分别过M，T做平面ABC
13、，平面PAB的垂线，则垂线的交点为球心O，将的长度求出或用球半径表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半径.【题目详解】设的中心为T，AB的中点为N，AC中点为M，分别过M，T做平面ABC，平面PAB的垂线，则垂线的交点为球心O，如图所示因为，所以，又二面角的大小为，则，所以，设外接球半径为R，则，在中，由余弦定理，得，即，解得，故三棱锥外接球的表面积.故答案为：.【题目点拨】本题考查三棱锥外接球的表面积问题，解决此类问题一定要数形结合，建立关于球的半径的方程，本题计算量较大，是一道难题.16、2889【解题分析】先计算集合中最小的数为，最大的数，可得，求和即得解.【题目详解】当时，集合中最小数
14、；当时，得到集合中最大的数； 故答案为：2889【题目点拨】本题考查了数列与集合综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）的极坐标方程为；的极坐标方程为：（2）【解题分析】（1）根据，代入即可转化.（2）由：，可得，代入与的极坐标方程求出，从而可得，再利用二倍角公式、辅助角公式，借助三角函数的性质即可求解.【题目详解】（1）：，的极坐标方程为：，的极坐标方程为：，（2）：，则（为锐角），当时取等号.【题目点拨】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.18、（1）（2）直线l的斜率为或【解题分析】(1)根据已知列出方程组即可解得椭圆方
