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1、江苏省南通如皋市2024届高三下学期第五次重点考试数学试题注意事项:1 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则( )AB
2、CD2已知实数满足约束条件,则的最小值是ABC1D43已知双曲线,点是直线上任意一点,若圆与双曲线的右支没有公共点,则双曲线的离心率取值范围是( )ABCD4国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是( )A12个月的PMI值不低于50%的频率为B12个月的PMI值的平均值低于50%C12个月的PMI值的众数为49.4%D12个月的PMI值的中位数为50.3%5已知函数若恒成立,则实数的取值范围是( )ABCD6如图所示,三国时代数学家在周脾算经中利用弦图,给出了勾股定理的
3、绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一个内角为,若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A20B27C54D647已知双曲线的一条渐近线方程是,则双曲线的离心率为( )ABCD8已知定义在上的函数,若函数为偶函数,且对任意, ,都有,若,则实数的取值范围是( )ABCD9一个空间几何体的正视图是长为4,宽为的长方形,侧视图是边长为2的等边三角形,俯视图如图所示,则该几何体的体积为( )ABCD10已知定义在上的函数的周期为4,当时,则( )ABCD11已知a,bR,则( )Ab3aBb6aCb9aD
4、b12a12设函数,则函数的图像可能为( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个数,这两个数的和仍是质数的概率是_(结果用最简分数表示)14设为椭圆在第一象限上的点,则的最小值为_.15如果椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形,焦点在x轴上,且=, 那么椭圆的方程是 16已知i为虚数单位,复数,则_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知函数,记的最小值为.()解不等式;()若正实数,满足,求证:.18(12分)在,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.若问题
5、中的正整数存在,求的值;若不存在,说明理由.设正数等比数列的前项和为,是等差数列,_,是否存在正整数,使得成立?19(12分)已知椭圆:(),点是的左顶点,点为上一点,离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点的直线与的另一个交点为(异于点),是否存在直线,使得以为直径的圆经过点,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.20(12分)已知矩阵,且二阶矩阵M满足AM=B,求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.21(12分)已知函数.(1)当时,求函数在处的切线方程;(2)若函数没有零点,求实数的取值范围.22(10分)已知函数.(1)解关于的不等式;(2)若函数的图象恒在直线的上方,求实数
6、的取值范围参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】如图所示:在边长为的正方体中,四棱锥满足条件,故,得到答案.【题目详解】如图所示:在边长为的正方体中,四棱锥满足条件.故,.故,故,.故选:.【题目点拨】本题考查了三视图,元素和集合的关系,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.2、B【解题分析】作出该不等式组表示的平面区域,如下图中阴影部分所示,设,则,易知当直线经过点时,z取得最小值,由,解得,所以,所以,故选B3、B【解题分析】先求出双曲线的渐近线方程,可得则直线与直线的距离,根据圆与双曲线的右支没有公
7、共点,可得,解得即可【题目详解】由题意,双曲线的一条渐近线方程为,即,是直线上任意一点,则直线与直线的距离,圆与双曲线的右支没有公共点,则,即,又故的取值范围为,故选:B【题目点拨】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系,以及两平行线间的距离公式,其中解答中根据圆与双曲线的右支没有公共点得出是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题4、D【解题分析】根据图形中的信息,可得频率、平均值的估计、众数、中位数,从而得到答案.【题目详解】对A,从图中数据变化看,PMI值不低于50%的月份有4个,所以12个月的PMI值不低于50%的频率为,故A正确;对B,由图可以看出,PMI值的平均值低于50%,
8、故B正确;对C,12个月的PMI值的众数为49.4%,故C正确,;对D,12个月的PMI值的中位数为49.6%,故D错误故选:D.【题目点拨】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算,考查数据处理能力,属于基础题.5、D【解题分析】由恒成立,等价于的图像在的图像的上方,然后作出两个函数的图像,利用数形结合的方法求解答案.【题目详解】因为由恒成立,分别作出及的图象,由图知,当时,不符合题意,只须考虑的情形,当与图象相切于时,由导数几何意义,此时,故.故选:D【题目点拨】此题考查的是函数中恒成立问题,利用了数形结合的思想,属于难题.6、B【解题分析】设大正方体的边长为,从而求得小正方体的边长为
9、,设落在小正方形内的米粒数大约为,利用概率模拟列方程即可求解。【题目详解】设大正方体的边长为,则小正方体的边长为,设落在小正方形内的米粒数大约为,则,解得:故选:B【题目点拨】本题主要考查了概率模拟的应用,考查计算能力,属于基础题。7、D【解题分析】双曲线的渐近线方程是,所以,即 , ,即 ,故选D.8、A【解题分析】根据题意,分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数,则不等式等价于,解得的取值范围,即可得答案.【题目详解】解:因为函数为偶函数,所以函数的图象关于对称,因为对任意, ,都有,所以函数在上为减函数,则,解得:.即实数的取值范围是.故选:A.【题目点拨】本题考查函数的对称性与单调性
10、的综合应用,涉及不等式的解法,属于综合题.9、B【解题分析】由三视图确定原几何体是正三棱柱,由此可求得体积【题目详解】由题意原几何体是正三棱柱,故选:B【题目点拨】本题考查三视图,考查棱柱的体积解题关键是由三视图不愿出原几何体10、A【解题分析】因为给出的解析式只适用于,所以利用周期性,将转化为,再与一起代入解析式,利用对数恒等式和对数的运算性质,即可求得结果.【题目详解】定义在上的函数的周期为4,当时,.故选:A.【题目点拨】本题考查了利用函数的周期性求函数值,对数的运算性质,属于中档题.11、C【解题分析】两复数相等,实部与虚部对应相等.【题目详解】由,得,即a,b1b9a故选:C【题目点
11、拨】本题考查复数的概念,属于基础题.12、B【解题分析】根据函数为偶函数排除,再计算排除得到答案.【题目详解】定义域为: ,函数为偶函数,排除 ,排除 故选【题目点拨】本题考查了函数图像,通过函数的单调性,奇偶性,特殊值排除选项是常用的技巧.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】依据古典概型的计算公式,分别求“任取两个数”和“任取两个数,和是质数”的事件数,计算即可。【题目详解】“任取两个数”的事件数为,“任取两个数,和是质数”的事件有(2,3),(2,5),(2,11)共3个,所以任取两个数,这两个数的和仍是质数的概率是。【题目点拨】本题主要考查古典概型的概率求法
12、。14、【解题分析】利用椭圆的参数方程,将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题,利用两角和的正弦公式和三角函数的性质,以及求导数、单调性和极值,即可得到所求最小值【题目详解】解:设点,其中,由,可设,导数为,由,可得,可得或,由,可得,即,可得,由可得函数递减;由,可得函数递增,可得时,函数取得最小值,且为,则的最小值为1故答案为:1【题目点拨】本题考查椭圆参数方程的应用,利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法,考查化简变形能力和运算能力,属于难题15、【解题分析】由题意可设椭圆方程为:短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形,焦点在轴上又,椭圆的方程为,故答案为考点:椭圆的标准方
13、程,解三角形以及解方程组的相关知识16、【解题分析】先把复数进行化简,然后利用求模公式可得结果.【题目详解】故答案为:.【题目点拨】本题主要考查复数模的求解,利用复数的运算把复数化为的形式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、()()见证明【解题分析】()由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可;()首先确定m的值,然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.【题目详解】()当时,即,;当时,;当时,即,.综上所述,原不等式的解集为.(),当且仅当时,等号成立.的最小值.,即,当且仅当即时,等号成立.又,时,等号成立.【题目点拨】本题主要考查绝对值不等式的解法,柯西不等式及其应用,绝对值三角不等式求最值的方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18、见解析【解题分析】根据等差数列性质及、,可求得等差数列的通项公式,由即可求得的值;根据等式,变形可得,分别讨论取中的一个,结合等比数列通项公式代入化简,检验是否存在正整数的值即可.【题目详解】在等差数列中,公差,若存在正整数,使得成立,即成立,设正数等比数列的公比为的公比为,若选,当时,满足成立.若选,方程无正整数解,不存在正整数使得成立.若选,