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1、甘肃省武威市河西成功学校2024届高三年级第四次月考数学试题考生请注意:1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知数列的首项,且,其中,下列叙述正确的是( )A若是等差数列,则一定有B若是等比数列,则一定有C若不是等差数列,则一定有 D若不是等比数列,则一定有2设,则
2、的大小关系是( )ABCD3设实数满足条件则的最大值为( )A1B2C3D44已知,则,不可能满足的关系是()ABCD5已知,椭圆的方程,双曲线的方程为,和的离心率之积为,则的渐近线方程为( )ABCD6已知点是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,点在抛物线上且满足,若取得最大值时,点恰好在以为焦点的椭圆上,则椭圆的离心率为( )ABCD7抛掷一枚质地均匀的硬币,每次正反面出现的概率相同,连续抛掷5次,至少连续出现3次正面朝上的概率是( )ABCD8已知复数,满足,则( )A1BCD59一袋中装有个红球和个黑球(除颜色外无区别),任取球,记其中黑球数为,则为( )ABCD10已知点,
3、点在曲线上运动,点为抛物线的焦点,则的最小值为( )ABCD411已知函数,若函数的极大值点从小到大依次记为,并记相应的极大值为,则的值为( )ABCD12tan570=( )AB-CD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13设为锐角,若,则的值为_14已知,为双曲线的左、右焦点,双曲线的渐近线上存在点满足,则的最大值为_15已知的终边过点,若,则_16在中,内角所对的边分别是,若,则_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知函数,若的解集为(1)求的值;(2)若正实数,满足,求证:18(12分)如图,湖中有一个半径为千米的圆形小岛,岸边点
4、与小岛圆心相距千米,为方便游人到小岛观光,从点向小岛建三段栈道,湖面上的点在线段上,且,均与圆相切,切点分别为,其中栈道,和小岛在同一个平面上.沿圆的优弧(圆上实线部分)上再修建栈道.记为.用表示栈道的总长度,并确定的取值范围;求当为何值时,栈道总长度最短.19(12分)如图是圆的直径,垂直于圆所在的平面,为圆周上不同于的任意一点(1)求证:平面平面;(2)设为的中点,为上的动点(不与重合)求二面角的正切值的最小值20(12分)如图,在四棱锥中,底面为正方形,、分别为、的中点(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值21(12分)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的参
5、数方程是(为参数,常数),曲线的极坐标方程是.(1)写出的普通方程及的直角坐标方程,并指出是什么曲线;(2)若直线与曲线,均相切且相切于同一点,求直线的极坐标方程.22(10分)如图,四棱锥中,底面为直角梯形,为等边三角形,平面底面,为的中点. (1)求证:平面平面;(2)点在线段上,且,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.【题目详解】A:当时,显然符合是等差数列,但是此时不成立,故本说法不正确;B:当时,显然符合是等比数列,
6、但是此时不成立,故本说法不正确;C:当时,因此有常数,因此是等差数列,因此当不是等差数列时,一定有,故本说法正确; D:当 时,若时,显然数列是等比数列,故本说法不正确.故选:C【题目点拨】本题考查了等差数列和等比数列的定义,考查了推理论证能力,属于基础题.2、A【解题分析】选取中间值和,利用对数函数,和指数函数的单调性即可求解.【题目详解】因为对数函数在上单调递增,所以,因为对数函数在上单调递减,所以,因为指数函数在上单调递增,所以,综上可知,.故选:A【题目点拨】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档
7、题、常考题型.3、C【解题分析】画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.【题目详解】如图所示:画出可行域和目标函数,即,表示直线在轴的截距加上1,根据图像知,当时,且时,有最大值为.故选:.【题目点拨】本题考查了线性规划问题,画出图像是解题的关键.4、C【解题分析】根据即可得出,根据,即可判断出结果【题目详解】;,;,故正确;,故C错误;,故D正确故C【题目点拨】本题主要考查指数式和对数式的互化,对数的运算,以及基本不等式:和不等式的应用,属于中档题5、A【解题分析】根据椭圆与双曲线离心率的表示形式,结合和的离心率之积为,即可得的关系,进而得双曲线的离心率方程.【题目详解】椭
8、圆的方程,双曲线的方程为,则椭圆离心率,双曲线的离心率,由和的离心率之积为,即,解得,所以渐近线方程为,化简可得,故选:A.【题目点拨】本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用,椭圆与双曲线离心率表示形式,双曲线渐近线方程求法,属于基础题.6、B【解题分析】设,利用两点间的距离公式求出的表达式,结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标,结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【题目详解】设,因为是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,所以,则,当时,当时,当且仅当时取等号,此时,点在以为焦点的椭圆上,由椭圆的定义得,所以椭圆的离心率,故选B.【题目点拨】本题主要考查椭圆的定义及离心
9、率,属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:直接求出,从而求出;构造的齐次式,求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解7、A【解题分析】首先求出样本空间样本点为个,再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数,再求出重复数量,可得事件的样本点数,根据古典概型的概率计算公式即可求解.【题目详解】样本空间样本点为个, 具体分析如下:记正面向上为1,反面向上为0,三个正面向上为连续的3个“1”,有以下3种位置1_ _,_1_,_ _1剩下2个空位可是0或1,这三种排列的所有可能分别都是,但合并计算时会有重复,重复数量为,事件的
10、样本点数为:个故不同的样本点数为8个,.故选:A【题目点拨】本题考查了分类计数原理与分步计数原理,古典概型的概率计算公式,属于基础题8、A【解题分析】首先根据复数代数形式的除法运算求出,求出的模即可【题目详解】解:,故选:A【题目点拨】本题考查了复数求模问题,考查复数的除法运算,属于基础题9、A【解题分析】由题意可知,随机变量的可能取值有、,计算出随机变量在不同取值下的概率,进而可求得随机变量的数学期望值.【题目详解】由题意可知,随机变量的可能取值有、,则,.因此,随机变量的数学期望为.故选:A.【题目点拨】本题考查随机变量数学期望的计算,考查计算能力,属于基础题.10、D【解题分析】如图所示
11、:过点作垂直准线于,交轴于,则,设,则,利用均值不等式得到答案.【题目详解】如图所示:过点作垂直准线于,交轴于,则,设,则,当,即时等号成立.故选:.【题目点拨】本题考查了抛物线中距离的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.11、C【解题分析】对此分段函数的第一部分进行求导分析可知,当时有极大值,而后一部分是前一部分的定义域的循环,而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍,故此得到极大值点的通项公式,且相应极大值,分组求和即得【题目详解】当时,显然当时有,经单调性分析知为的第一个极值点又时,均为其极值点函数不能在端点处取得极值,对应极值,故选:C【题目点拨】本题考查基本函数极值
12、的求解,从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列,最后分组求和,要求学生对数列和函数的熟悉程度高,为中档题12、A【解题分析】直接利用诱导公式化简求解即可【题目详解】tan570=tan(360+210)=tan210=tan(180+30)=tan30=故选:A【题目点拨】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值,主要考查诱导公式的应用,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】为锐角,故.14、【解题分析】设,由可得,整理得,即点在以为圆心,为半径的圆上又点到双曲线的渐近线的距离为,所以当双曲线的渐近线与圆相切时,取得最大值,此时,解得15、【解题分析】
13、由题意利用任意角的三角函数的定义,求得的值【题目详解】的终边过点,若, 即答案为-2.【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式,属基础题.16、【解题分析】先求得的值,由此求得的值,再利用正弦定理求得的值.【题目详解】由于,所以,所以.由正弦定理得.故答案为:【题目点拨】本小题主要考查正弦定理解三角形,考查同角三角函数的基本关系式,考查两角和的正弦公式,考查三角形的内角和定理,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)证明见详解.【解题分析】(1)将不等式的解集用表示出来,结合题中的解集,求出的值;(2)利用柯西不等式证明.【题目详解】解:(1),因为的解集为,所以,;(2)由(1)由柯西不等式,当且仅当,等号成立【题目点拨】本题考查了绝对值不等式的解法,利用柯西不等式证明不等式的问题,属于中档题.18、,;当时,栈道总长度最短.【解题分析】连,由切线长定理知:,即,则,进而确定的取值范围;根据求导得,利用增减性算出,进而求得取值.【题目详解】解:连,由切线长定理知:,又,故,则劣弧的长为,因此,优弧的长为,又,故,即,所以,则;,其中,-0+单调递减极小值单调递增故时,所以当时,栈道总长度最短.【题目