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1、人教A版选择性必修第二册第四章数列综合测试2一、单选题1设数列满足，则（ ）A2B4C8D162在等差数列中，则等于（ ）.A6B12C24D323等比数列中，则等于（ ）A16B32C64D1284设数列的通项公式为，要使它的前项的乘积大于36，则的最小值为（ ）A6B7C8D95在各项均为正数的等比数列中，则的最大值是（ ）A25BC5D6已知等差数列的公差为正数，为常数，则（ ）ABCD7在等差数列中，则中最大的是（ ）ABCD8设等差数列、的前项和分别是、.若，则的值为（ ）ABC1D29在数列中，则（ ）A10B145C300D32010张丘建算经卷上第题为：“今有女善织，日益功疾（
2、注：从第天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现一月（按天计）共织尺”，则从第天起每天比前一天多织（ ）A尺布B尺布C尺布D尺布11若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积列”.若各项均为正数的等比数列an是一个“2022积数列”，且a11，则当其前n项的乘积取最大值时，n的最大值为（ ）A1009B1010C1011D202012已知数列的前项和为，且，满足，数列的前项和为，则下列说法中错误的是（ ）ABC数列的最大项为D第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13在公差不为0的等差数列an中，a1、a3、a4成等比数列，则该等比数列的
3、公比为_.14若等差数列和等比数列满足，则_15在数列中，记，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为_.16有一个数阵排列如下：1 2 4 7 11 16 223 5 8 12 17 236 9 13 18 2410 14 19 2515 20 2621 2728则第40行从左至右第6个数字为_.三、解答题17已知数列的前n项和为，且当时，（）求的值；（）证明：为等比数列18已知数列的前项和与通项满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求.19已知数列的前n项和为（）若为等差数列，求证：；（）若，求证：为等差数列20在数列中，（1）设，证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）设为数列的前n项和
4、，证明：21设等差数列的前n项和为，数列的前n项和为，满足（1）求数列的通项公式及数列的前n项和；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由22已知等差数列的前项和为，数列满足，.（1）证明：数列是等比数列，并求数列与数列通项公式；（2）若，求数列的前项和.参考答案1D【分析】根据等比数列的定义可得数列是以2为公比的等比数列，由此可得选项.【详解】因为数列满足，所以数列是以2为公比的等比数列，所以，故选：D.【点睛】本题考查等比数列的定义，属于基础题.2A【分析】由等差数列的性质可得选项.【详解】由等差数列的性质得，故选：A.【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题.3A【分析】由，求得，再由
5、求解.【详解】，.，.故选：A4C【分析】先求出数列的前项的乘积为，令解不等式，结合，即可求解.【详解】记数列的前项的乘积为，则依题意有整理得解得：，因为，所以，故选：C5B【分析】由等比数列的性质，求得，再结合基本不等式，即可求得的最大值，得到答案.【详解】由等比数列的性质，可得，又因为，所以，所以，当且仅当时取等号故选：B.6A【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案【详解】，, 令，则，解得令，则，即，若，则，与已知矛盾，故解得等差数列，即，解得则公差，所以.故选：A7B【分析】设等差数列的公差为d.由已知得，可得关系.再运用求和公
6、式和二次函数的性质可得选项.【详解】设等差数列的公差为d.由得，整理得，.又，所以，因此，所以最大.故选：B.8C【分析】令，求出，进而求出，则可得【详解】令，可得当时，当，符合，故，故.【点睛】由求时，注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式求解9C【分析】由等差数列的性质可得，结合分组求和法即可得解。【详解】因为，所以数列是以为首项，公差为3的等差数列，所以，所以当时，；当时，；所以.故选：C.10D【分析】设该女子第尺布，前天工织布尺，则数列为等差数列，设其公差为，根据，可求得的值.【详解】设该女子第尺布，前天工织
7、布尺，则数列为等差数列，设其公差为，由题意可得，解得.故选：D.11C【分析】根据数列的新定义，得到，再由等比数列的性质得到，再利用求解即可.【详解】根据题意：，所以，因为an等比数列，设公比为，则，所以，因为，所以，所以，所以前n项的乘积取最大值时n的最大值为1011.故选：C.【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出以及进行判断.12D【分析】当且时，由代入可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，由可判断A选项的正误；利用的表达式可判断BC选项的正误；求出，可判断D选项的正误.【详解】
8、当且时，由，由可得，整理得（且）.则为以2为首项，以2为公差的等差数列，.A中，当时，A选项正确；B中，为等差数列，显然有，B选项正确；C中，记，故为递减数列，C选项正确；D中，.，D选项错误.故选：D【点睛】关键点点睛：利用与的关系求通项，一般利用来求解，在变形过程中要注意是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用将递推关系转化为有关的递推数列来求解.13【分析】设等差数列an的公差为，利用等比中项求出和的关系，代入求值即为该等比数列的公比【详解】设等差数列an的公差为则，即，解得则该等比数列的公比为故答案为：141【分析】利用等差、等比的通项公式结合已知求出公差d、公比q，进而求.【详解】
9、若令公差、公比分别为，由题意知：，得，得，,故答案为：1.15【分析】先由题意求得数列的前几项，进而猜想，然后利用数学归纳法证明猜想，再求得，再根据恒成立对分奇数、偶数两种情况讨论求得实数的取值范围【详解】解：由题意得，故猜想：，下面用数学归纳法证明：（1）当时，显然成立；（2）假设当时有，那么当时，所以当时，也成立，由（1），（2）得，所以，因为对任意的，恒成立，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立，当为偶数时，有，当为奇数时，有，所以所以实数的取值范围为，故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查由递推式求数列的通项公式，考查不等式恒成立问题，解题的关键是归纳出数列的通项公式，并用数学归纳法证
10、明，以及由得，然后分类讨论可得结果，考查转化思想，属于中档题161030【分析】利用观察法和累加法得到，进而求解即可【详解】第1行从左至右第6个数字：第2行从左至右第6个数字：；第3行从左至右第6个数字：；第4行从左至右第6个数字：；第5行从左至右第6个数字：；第n行从左至右第6个数字：；利用累加法得：，得，故答案为：1030【点睛】关键点睛：解题的关键在于观察得到，最后，使用累加法求出数列的通项，属于中档题17（）；（）证明见解析.【分析】（）根据题中条件，令代入递推式，即可得出结果；（）根据递推公式，得到，得出，计算，即可得出结论成立.【详解】（）因为，当时，即，解得（）证明：由，得，即当
11、时，有，数列是以为首项，为公比的等比数列【点睛】本题主要考查由递推公式求数列中的项，考查证明数列是等比数列，属于常考题型.18（1）；（2）.【分析】（1）先由题中条件，求；再由，根据题中条件，得到，判定数列为等比数列，进而可求出其通项公式；（2）由（1），根据题中条件，得到，求出，再由裂项相消的方法，即可求出数列的和.【详解】（1）当时，. 当时，又，即数列是首项为，公比为的等比数列，故.（2）由已知得，.【点睛】本题主要考查由递推公式求等比数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，属于常考题型.19（）证明见解析；（）证明见解析.【分析】（1）根据为等差数列，利用倒序相加法证明即可；（2）
12、由前n项和公式有、，相加后整理可得，为等差数列得证【详解】（）证明：已知数列为等差数列，设其公差为d，则有，于是，又，+得：，即 （）证明：，当时，-并整理，得，即，数列是等差数列【点睛】本题考查了已知等差数列的通项公式，应用倒序相加法求证前n项和公式，由前n项和公式，结合等差数列的定义证明等差数列，属于基础题.20（1）证明见解析，；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知条件可得，从而可证得是等比数列，再由等比数列的通项公式可得，而可求得，（2）利用错位相减法求出，再利用放缩法可证得结论【详解】（1）因为，所以又，所以是首项为，公比为的等比数列于是，故（2）两边同乘以得以上两式相减得故【点睛】此题考查由递推式证明等比数列，考查错位相减法的应用，考查计算能力，属于基础题21（1）；（2）数列不是等比数列理由见解析.【分析】（1）由等差数列的通项公式以及前项和公式即可求得，代入，利用裂项求和即可求得数列的前n项和；（2）由求出数列的通项公式，再运用等比数列的定义判断即可.【详解】解：（1）设数列的公差为d，又，解得：，设前n项的和为，；（2），当时，；当时，若是等比数列，则有，而，所以与矛盾，故数列不是等比数列【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和
