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1、幂函数性质的应用幂函数是重要的基本初等函数模型之一，它具有如下性质： （1）幂函数在上有定义，并且图象过定点； （2）如果，则幂函数的图象过定点和，并且在区间上为增函数； （3）如果，则幂函数的图象过定点，并且在区间上为减函数；在第一象限内，当趋向于原点时，图象在轴右方并无限地逼近轴，当趋于时，图象在轴上方并无限地逼近轴； （4）设互质， ，。 当为奇数，为偶数时，函数为非奇非偶函数，函数在其它象限无图象，只在第一象限内有图象； 当为偶数，为奇数时，函数为偶函数，图象在第一、二象限，且关于轴对称； 当、均为奇数时，函数为奇函数，图象在第一、三象限，且关于对称。 利用上述性质，可以解决许多有关幂
2、函数问题。下面举例说明。 一、比较大小例1 比较下列各组中两个值的大小：（1），；（2），。解析：题中两组值都是幂运算的结果，且指数相同，因此可以利用幂函数的性质来判断它们的大小。（1）因为幂函数在上为增函数，又，所以；（2）因为幂函数在上为减函数，又，所以。点评：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较。例2 比较，的大小。解析：，。因为幂函数在上单调递减，且，所以，所以。点评：当幂指数不同时可先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小。二、求函数解析式例3 已知幂函数的图象与轴，轴都无交点，且关于轴对称，试确定函数的解析式。解析：因为的图象与轴，轴都无交点，所以，即 。又，所以。当时，
3、是奇函数，不合题意，舍去；当时，是偶函数，图象关于轴对称，符合题意。故所求幂函数为。点评：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄清幂函数的定义和性质是关键。三、讨论函数性质例4 讨论函数（）的定义域、奇偶性和单调性。解析：（1）因为，所以是正偶数，所以是正奇数，所以函数的定义域为。（2）因为是正奇数，所以，所以在上是奇函数。（3）因为，所以，又是正奇数，所以函数在上单调递增。点评：函数的性质是解决函数问题的基础，应掌握五个常用的幂函数：，的性质。四、画函数图象例5 已知幂函数（）的图象与、 轴都无交点，且关于 轴对称，求的值，并画出函数图象。解析：因为幂函数（）的图象与、 轴都无交点，所以，即。又，所以。因为幂函数图象关于 轴对称，所以或。当时，函数为，图象如图1；当时，函数为（），图象如图2。 y o x 图1 y （此点为虚点） 1 o x 图2点评：函数在处没有意义，这点一定不要忽视。五、求参数的取值范围例6 已知，求的取值范围。解析：和是幂函数的两个函数值，且是上的增函数，解得 。故的取值范围是。点评：本题是利用幂函数的单调性确定的参数的取值范围。
