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1、比例的性质在三角问题中的应用解答某些三角求值问题时，如能依据题设条件，灵活巧妙地借助比例的有关性质，可使这类问题的解答更加简捷、明快，现举例解析如下：例1：设是第二象限角，且，求的值。分析：本题若直接利用同角的关系求解较为困难，这里可借助比例的性质进行求解。解：因，并注意到是第二象限角，故可借助比例的性质设，有同角的平方关系得：，即，所以。例2：设，求的值。分析：本题若直接求解则解答过程较为繁难，这里若借用比例的合分比性质可使其简捷获解：解：由比例的和分比性质得：，将其切化弦可得：，即，所以，则，即，所以。例3：设，求的值。分析：本题若直接求解则较为繁难，这里若借助比例的合分比性质可使其简捷、
2、巧妙地获解。解：因，故，即，注意到，故由比例的合分比性质可得：，所以，故有。通过以上几例的解析可以看出：解答三角求值问题时，适时依据题设条件灵活巧妙地运用比例的有关性质不仅可以简化问题的解答过程，而且能开拓思维的视野，独辟问题解答的蹊径。单位圆中的三角函数线及应用设是单位圆（以坐标原点为圆心，半径为1的圆）与任意角的终边的交点，如图1，过点作轴的垂线，垂足为；若记单位圆与轴正半轴的交点为，过作单位圆的切线交任意角的终边于点，则有向线段分别称为任意角的正弦线、余弦线、正切线（通称三角函数线），下面举例说明三角函数线在解题中的应用：例1：若，试比较与的大小。解析：如图2作出单位圆，易知角的终边落在
3、如图所示的位置，在中，由于，故，即。变题1：化简。（答案）。变题2：若，求的值。（答案）。例2：若，试解下列不等式（1），（2），（3）。解析：(1)如图3作出单位圆-1，直线与单位圆交于点，则，易知当角的终边落在如图所示的阴影区域内时，故适合不等式的应满足，即。(2) 如图4作出单位圆-2，直线与单位圆交于点，则，易知当角的终边落在如图所示的阴影区域内时，有，故适合不等式的应满足，(3) 如图5作出单位圆-3，在中，角的终边与单位圆交于点，则，易知当角的终边落在如图所示的阴影区域内时，有，故适合不等式的应满足或。例3：设，试证明（1），（2）。解析：（1）如图6作出单位圆，设角的终边与单位圆交于点，与过点的切线交于点，因为，所以在中，应该有，即。（2）由于弧，所以在及中，显然有，即。通过以上几例的解析可以看出：应用单位圆中的三角函数线解答有关比较大小、解不等式、证明不等式等三角问题不仅简捷明快，而且能加强对三角函数的概念的理解，也有助于数形结合能力的提高。
