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1、定方向匀速直线航行.当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处,此时两船相距20海里,则这个三角形的面积为()A.B.C.D.【思路点拨】先求出最大角,再根据余弦定理求出a的值,最后=xkm,BC=3km,AC=km,ABC=30,由余弦定理,得()2=x2+32-2x3c2013江苏高考)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,应 用 举 例(45 分钟 100分)一、选择题( 每小题 5 分, 共 40分)1. 如图所示, 为了测量某障碍物两侧 A,B 间的距离, 给定下列四组数据, 不能确定 A,B 间距离的是( )A. ,a,b B.
2、 , ,a C.a,b, D. , ,b【解析】 选 A.选项 B 中由正弦定理可求 b, 再由余弦定理可确定 AB.选项 C 中可由余弦定理确定 AB.选项 D同 B类似.2.(2013 金华模拟) 如图, 设 A,B 两点在河的两岸, 一测量者在 A的同侧所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,ACB=45, CAB=105后,就可以计算出 A,B 两点间的距离为( )A.50 m B.50 mC.25 m D. m【 解 析 】选 A. 因 为 ACB=45 , CAB=105 , 所 以 CBA=30 , 在 ABC 中 , 由 正 弦 定 理 , 得 即,所以 AB=50 (
3、m), 故选 A.【加固训练】 如图所示, 为测一建筑物的高度, 在地面上选取 A,B 两点, 从 A,B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为 30,45 , 且 A,B 两点间的距离为 60m,则该建筑物的高度为( )A.(30+30 )mB.(30+15 )m=180-60=120.根据余弦定理,得AC=3.ABCD的面积S=2SABABAD,沿点A向北偏东30前进100m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30,则水柱的高度是()A定方向匀速直线航行.当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处,此时两船相距20海里,2013江苏高考)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两
4、种路径.一种是从A沿直线步行到C,A.B.2D.3C.(15+30 )m D.(15+15 )m【解析】 选 A.在PAB中, PAB=3, APB=1,AB=60,sin15 =sin(45 -30)=sin45 cos30 -cos45 sin30 - ,由正弦定理, 得=,所以 =30( + ),所以建筑物的高度为 PBsin45 =30( + ) =(30+30 )m.3.(2013 台州模拟) 某人向正东方向走 xkm后, 向右转 150, 然后朝新方向走 3km,结果他离出发点恰好是km,那么x 的值为( )C. 或 2【解析】选 C.如图所示, 设此人从 A出发, 则 AB=xk
5、m,BC=3km,AC= km,ABC=30,由余弦定理, 得( ) 2=x2+32-2x 3 cos30 ,整理得 x2-3 x+6=0, 解得 x= 或 2 .4. 甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测 20m高的旗杆, 甲观测的仰角为50, 乙观测的仰角为 40, 用 d1,d 2 分别表示甲、乙两人离旗杆的距离, 那么有( )A.d1d2 B.d 120m D.d2tan 40 可知,d 160, 设最大角为, 故对的边长为 a+2, 因为 sin =, 所以=120, 由余弦定理得(a+2) 2=(a-2) 2+a2+a(a-2),即 a2=5a, 解得 a=5. 所以三边长为 3
6、,5,7, 3 5 sin120 =.8. ABC中,A B=1 2, ACB的平分线 CD把ABC的面积分成 3 2 两部分, 则 cosA 等于( )0t(100+50t)=200(37t2-70t+50),因0t,即0t8,故当t=(m到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA=,coinB.又sinB=sin(A+C),化简得:sinAsinC=cosAsinC.因为sinC0,sC=.(1)求索道AB的长.(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游,AB=6,AD=3,.A. B. C. D.0【思路点拨】
7、 先根据角平分线的性质, 将面积比转化为三角形中两边的关系, 再由正弦定理构造方程求解.【解析】 选 C. 因为 CD为ACB的平分线,所以 D到 AC与 D到 BC的距离相等.所以ACD中 AC边上的高与BCD中 BC边上的高相等.因为 SACD SBC 2, 所以.由正弦定理, 得 又因为 B=2A,所以 所以 cosA=.二、填空题( 每小题 5 分, 共 20分)9. 在 ABCD中 BAD=60 则 ABCD的对角线 AC长为 面积为【解析】 在 ABCD中, 连接 AC,则 CD=AB=6,ADC=180- BAD=180-60=120 .根据余弦定理, 得AC= =3 .ABCD
8、的面积 S=2SABAB AD sin BAD=6 3sin60 =9 .答案: 3 910. 一船向正北航行, 看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上, 继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西 60方向, 另一灯塔在船 的南偏西 75 方向, 则这只船的速度是每小 时.【解析】 如图, 依题意有BAC=6 , BAD=75 , 所以CAD=CDA=15, 从而 CD=CA=10,在直角三角形 ABC中, 可得 AB=5,于是这只船的速度是=10( 海里/ 小时).答案: 10 海里对的边长为a+2,因为sin=,所以=120,由余弦定理得(a+2)2=(a-2)2+
9、a2+a-c2,所以absinC-2ab=a2+b2-c2,又cosC=-1,所以cosC+1=,即2cos0t(100+50t)=200(37t2-70t+50),因0t,即0t8,故当t=(m,由正弦定理,得=,所以=30(+),所以建筑物的高度为PBsin45=30(+)=(30+11.(2013 咸阳模拟) 在ABC中,AD 为 BC边上的中线, 且 AC=2AB=2AD=, BD= .【解析】 设 BD=DC=x,因为ADB+ADC=180,所以 cos ADB=-cosADC,又 AC=2AB=2AD=余弦定理得,解得 x= (x=- 舍去), 故 BD= .答案:12.( 能力挑战题) 某城市为加强对建筑文物的保护, 计划对该市的所有建筑文物进行测量, 如图是一座非常 著名的古老建筑, 其中 A是烟囱的最高点, 选择一条水平基线 HG,使得 H,G,B 三点在同一条直线上,AB 与水 平基线 HG垂直, 在相距为60 m的 G,H两点用测角仪测得 A的仰角ACE,ADE分别为 75,30 , 已知测角仪器的高 BE=1.5 m,则 AB=m(参考数据: 1.4, 1.7).【解析】 因为ACE=75, ADC=30, 所以CAD=45, 在ACD中,CD=6
