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1、3】如右图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点）不存在.0图乙表示的是f（x）在点x0处的左极限存在,而右案：D3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是yxyAk=0,1,2,）22k1解析：由cos=0,得=k0 0x x3.若 f（x）、 g（x）都在点 x0 处连续,则 f（x） g（x） ,f（x） g（x） , （g（x）D.x=0 和 x= （k=0,1,2,） 2 x x 2 2k 113.4 函数的连续性及极限的应用知识梳理1.函数的连续性.一般地，函数 f（x）在点x=x0 处连续必须满足下面三个条件：（ 1 ）函数 f（x）在点 x=x0 处有定义；（2）
2、lim f（x）存在；（3） lim f（x） =f（x0 ）. x x x x如果函数 y=f（x）在点 x=x0 处及其附近有定义，而且 lim f（x） =f（x0 ）,就说函数 f（x）在0点 x0 处连续.2.如果 f（x）是闭区间a,b上的连续函数，那么 f（x）在闭区间a,b上有最大值 和最小值.f (x)g(x)0 ）也在点 x0 处连续.若 u（x）在点 x0 处连续,且 f（u）在 u0=u（x0 ）处连续,则复合函数 fu（x）在点 x0 处也连续. 特别提示（ 1 ）连续必有极限,有极限未必连续.（2）从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“f”是可
3、以交换 顺序的.点击双基1.f（x）在 x=x0 处连续是 f（x）在 x=x0 处有定义的_条件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分又不必要解析： f（x）在 x=x0 处有定义不一定连续.答案： A2.f（x） = cosxcosx的不连续点为A.x=0B.x=22k1（k=0,1,2,）C.x=0 和 x=2k（k=0,1,2,）22k 1解析：由 cos =0,得 =k+ （kZ）, x= (k Z) .又 x=0 也不是连续点,故选 D答案： D3.下列图象表示的函数在 x=x0 处连续的是y（x,y）,则x=aar2+ar4=1(r2)1a2圆O1外切，且与AB、
4、BC相切,圆On+1与圆On外切，的极限位置.（2）可先求最终目的地关于r的参数形式的方程.解性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.【例Oxx0O0xO xx 3a x0), 0),x 04.四个函数:f（x） = ;g（x） =sinx;f（x） =|x|;f（x） =ax3+bx2+cx+d.其中在 x=0x yxOy yxyA.答案： AB.0C.x O x0 xD.1x处连续的函数是_. （把你认为正确的代号都填上）答案：典例剖析1 (x 0),【例 1】 （ 1 ）讨论函数 f（x） = 0 (x 0), 在点x 0处的连续性;1 (x 0)（2 ）讨论函数 f（x
5、） = 在区间0,3上的连续性.剖析：（ 1 ）需判断 lim f（x） = lim f（x） =f（0）.x 0 x 0（2 ）需判断 f（x）在（0,3）上的连续性及在 x=0 处右连续,在 x=3 处左连续.解:（ 1） lim f（x） = 1, lim f（x） =1,x 0 x 0lim f（x） lim f（x） ,x 0 x 0 limf（x）不存在. f（x）在 x=0 处不连续.x 0（2）f（x）在 x=3 处无定义,f（x）在 x=3 处不连续.f（x）在区间0,3上不连续.ex 【例 2】 设 f（x） =解: lim f（x） = lim （a+x）x 0 x 0(
6、x (x=a,当 a 为何值时,函数 f（x）是连续的.lim f（x） = lim ex=1,而 f（ 0）=a,故当 a=1 时,x 0lim f（x） =f（0）,x 0即说明函数 f（x）在 x=0 处连续,而在 x0 时,f（x）显然连续,于是我们可判断当 a=1 时,f（x）在（,+）内是连续的.评述：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.【例 3】 如右图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点, 然后采用如下方法进行:从原点出发,在 x 轴上向正方向前进 a（a0 ）个单位 后,向左转90,前进a r（ 0r 1个单位,再向左转90,
7、又前进a r2个单位, , 如此连续下去.=xx1的不连续点.x1x解：易求f（x）的定义域为x|x9）n1a1（nN*）,所以（a1+a2+an）=+（kZ）,x=(kZ).又x=0也不是连续点,故选D答S=limb（）2+b（）2+b=limabn=lia,a ar1 r 2 1 r 2,a a 22 421 x即行动的最终目的地在以（ ,0）为圆心, 为半径的圆上. 2 2（ 1 ）若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动 与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?（2 ）若其中的 r 为变量,且 0r1,则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上? 剖析：（
8、1 ）小分队按原方案走,小分队最终应在运动的极限位置.（2 ）可先求最终目的地关于 r 的参数形式的方程.解:（ 1 ）由已知可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为 Q（x,y） ,则x=aar2+ar4 = = 1 ( r 2 ) 1ar2y=ar ar3+ar5 =ar1 r 2 ,大本营应在点（, ）附近去寻找小分队.x （2）由ya1 r 2ar1 r 2消去 r 得（ x ）2+y2= （其中 xa ,y0）,a a 闯关训练夯实基础x21.函数 f（x） = x2x2x 3 x 11 x 2,则有2 x 2,A.f（x）在 x=1 处不连续B.f（x）在 x=2 处不连续C.
9、f（x）在 x=1 和 x=2 处不连续D.f（x）处处连续解析： lim f（x） =0, lim f（x） =1,x 1 x 1f（x）在 x=1 处不连续.答案： A2.若 f（x）在定义域a,b上有定义,则在该区间上A.一定连续B.一定不连续C.可能连续也可能不连续D.以上均不正确解析：有定义不一定连续.答案： Cx3.已知函数 f（x） =x为有理数, x为无理数,函数 f（x）在哪点连续A.处处连续B.x=1:（1）由已知可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为Q（m/s）,那么第二,第三,第n+1777过的路程为h0mab=ab.On1ann培养能力116.求y=f（x）xx
10、 cos x1 2n n n12 22 (n 1)23(n 1) n (2n 1) 1n 6n3 3y3n）2 2 12解析： lim f（x） = lim f（x） =f（ ）.x xf（x） = 在 0,1 上连续;若 f（x）是（a,b）内的连续函数,则 f（x）在（a,b）内有最大值和最小值;2sin2x25.抛物线 y=b（ ）2、x 轴及直线 AB:x=a 围成了如图（ 1 ）的阴影部分,AB 与 x 轴交于annC.x=0 D.x=11 1 22 2答案： D4.有以下四个命题:1 lim =4;若 f（x） =xx 1(x 0), (x 0).则 limf（x） =0.x 0其
11、中正确命题的序号是_. （请把你认为正确命题的序号都填上） 答案：xa点 A,把线段 OA 分成 n 等份,作以 为底的内接矩形如图（ 2）,阴影部分的面积为 S 等于这些内接矩形面积之和当 n 时的极限值,求 S.解： S= limb （ ）2+b （ ）2+b= lim abn= lim ab= ab.yBOA x O A（ ( ）2+ +(bx（n 1 a n n极限不存在,也属于limf（x）不存在0的情况.图丙表示的是x）在点x0处的极限（值）与f（x）在点x0处的函数值f（x（x）在点x0处连续是依据f（x）在点x0处的极限来定义的,nN*）.（1）证明an是等比数列；（2）求lim（a1 1n n e31n1n1 1n n1 1n2 nn则 r1= 2 tan30
