《电磁场和电磁波之分离变量法培训课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电磁场和电磁波之分离变量法培训课件（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系中的分离变量法。中的分离变量法。1.直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 在直角坐标系中的展开式为在直角坐标系中的展开式为 令令代入上式，得代入上式，得 无源区中电位满足的拉普拉斯方程为无源区中电位满足的拉普拉斯方程为两边再除以两边再除以 X(x)Y(y)，得，得 只与只与x x有关有关只与只与y y有关有关此常数写成此常数写成 。式中式中 k 称为分离常数，它的取值不同，常微分方程的解也有不称为分离常数，它的取值不同，常微分方程的解也有不同的形式。同的形式。由
2、由上上可可见见，经经过过变变量量分分离离后后，二二维维偏偏微微分分方方程程式式被被简简化化为为二二个个一一维维常常微微分分方方程程。常常微微分分方方程程的的求求解解较较为为简简便便，而而且且二二个个常常微微分分方方程又具有同一结构，因此它们解也一定具有相同的形式。程又具有同一结构，因此它们解也一定具有相同的形式。要使上式成立，式中每一项都必须为常数。要使上式成立，式中每一项都必须为常数。当当 k=0 时，二常微分方程的解为时，二常微分方程的解为 当当 k 0 时，二常微分方程的解为时，二常微分方程的解为双曲函双曲函数数含变量含变量 x 或或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的的常
3、微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的线性组合线性组合仍然是方程的解。仍然是方程的解。式中式中 A,B,C,D 为待定常数。为待定常数。为满足给定的边界条件，分离变量为满足给定的边界条件，分离变量k 通常取一系列特定的值通常取一系列特定的值 kn（n=1 1，2 2，）。位函数位函数 的通解为的通解为若令若令 代替代替，可得另一形式通解，可得另一形式通解解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的边界条件边界条件。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。例例 横横截截面面为为矩矩形形的的无无限限长长接接地
4、地金金属属导导体体槽槽，上上部部有有电电位位为为 的的金金属属盖盖板板；导导体体槽槽的的侧侧壁壁与与盖盖板板间间有有非非常常小小的的间间隙隙以以保保证证相相互互绝绝缘缘。试求此导体槽内的电位分布。试求此导体槽内的电位分布。解解:导导体体槽槽在在 方方向向为为无无限限长长，槽槽内内电电位位满满足足直直角角坐坐标标系系中中的的二二维维拉拉普普拉拉斯方程。斯方程。（导体槽内（导体槽内D D域）域）由于槽内电位由于槽内电位 和和 ，则其通解形式为，则其通解形式为代入上式，得代入上式，得为使上式对为使上式对 在在 内成立，则内成立，则则则代入上式，得代入上式，得为使上式对为使上式对 在在 内成立，则内成
5、立，则则则代入上式，得代入上式，得其中其中 不能为零，否则不能为零，否则 ，故有，故有得得为使上式对为使上式对 在在 内成立，且内成立，且 则则则则代入上式，得代入上式，得为为确确定定常常数数 ，将将 在在区区间间 上上按按 展展开开为为傅傅里里叶叶级级数数，即即导体槽内电位函数为导体槽内电位函数为导体槽内电位分布情况为导体槽内电位分布情况为（D D域内）域内）例例一一无无限限长长金金属属槽槽，其其三三壁壁接接地地，另另一一壁壁与与三三壁壁绝绝缘缘且且保保持持电电位位为为 ，金金属属槽槽截截面面为为正正方方形形（边边长长为为a a），试试求求金金属属槽槽内内电电位的分布。位的分布。解：选定直角
6、坐标系解：选定直角坐标系例例 由由四四块块沿沿轴轴方方向向放放置置的的金金属属板板围围成成的的矩矩形形长长槽槽，四四条条棱棱线线处处有无限小间隙以保证相互绝缘。试求槽内空间的电位分布。有无限小间隙以保证相互绝缘。试求槽内空间的电位分布。解解:设设金金属属板板沿沿 方方向向为为无无限限长长，槽槽内内空空间间的的电电位位函函数数满满足足直直角角坐坐标标系系中中的二维拉普拉斯方程。的二维拉普拉斯方程。（矩形槽内）（矩形槽内）2.圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为 令其解为令其解为 代入上式求得代入上式求得上式中第
7、二项仅为变量上式中第二项仅为变量 的函数，而第一项与的函数，而第一项与 无关，因此二项均无关，因此二项均应为常数，令应为常数，令 具有圆柱面边界的问题，可采用圆柱坐标系中的分离变量法求解。具有圆柱面边界的问题，可采用圆柱坐标系中的分离变量法求解。即即式中式中k为分离常数为分离常数通常变量通常变量 的变化范围为的变化范围为 ，那么位函，那么位函数随数随 的变化一定是以的变化一定是以 2 2 为周期的周期函数。因此分离常数为周期的周期函数。因此分离常数 k 一定是整数，以保证函数的周期为一定是整数，以保证函数的周期为2 2。即。即 且且 ，则通解为，则通解为xyaE0电场线等位面圆柱外电场线、等位
8、面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：3.球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法 电位微分方程在球坐标系中的展开式为电位微分方程在球坐标系中的展开式为令令代入上式，得代入上式，得与前同理，与前同理，的解应为的解应为 具有球面边界的问题，可采用球坐标系中的分离变量法求解。具有球面边界的问题，可采用球坐标系中的分离变量法求解。可见，上式中第一项仅为可见，上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与的函数，第二项与 r 无关。因此，与前无关。因此，与前同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令 式中式中n 为整
9、数。这是尤拉方程，其通解为为整数。这是尤拉方程，其通解为 将此结果代入上式，得将此结果代入上式，得令令 ，则上式变为，则上式变为上式为上式为连带勒让德方程连带勒让德方程，其通解为，其通解为第一类连带勒让德函数第一类连带勒让德函数 与与第二类连带勒让德函数第二类连带勒让德函数 之和，这里之和，这里 m n 。当当 n 是整数时，是整数时，及及 为有限项多项式。因此，要求为有限项多项式。因此，要求 n 为整数。为整数。根据第二类连带勒让德函数的特性知，当根据第二类连带勒让德函数的特性知，当 时，时，。因此，当场存在的区域包括。因此，当场存在的区域包括 或或 时，时，此时只能取，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。第一类连带勒让德函数作为方程的解。所以，通常令所以，通常令那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合 若若静静电电场场与与变变量量 无无关关，则则 m=0。那那么么 称称为第一类勒让德函数。此时，为第一类勒让德函数。此时，电位微分方程电位微分方程的通解为的通解为E0zy 0a球内电场仍然为均匀电场，而且球内场强球内电场仍然为均匀电场，而且球内场强低于低于球外场强。球外场强。球内外的电场线如图示。球内外的电场线如图示。
