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1、2021上海考研数学二真题及答案一、选择题：110 小题，每小题 5 分，共 50 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的x32t1.当 x 0 ， 0 (e-1)dt 是 x7 的A. 低阶无穷小.B. 等价无穷小.C. 高阶无穷小.D. 同阶但非等价无穷小.【答案】 C.x2 (et3 -1)dt2 (ex6 -1)6【解析】0limx0x7ex - 1= limx07x5= lim 2xx0 7x5= 0 ,故选 C.2.函数 f ( x) = x,1,x 0,在 x = 0 处x = 0A.连续且取极大值B.连续且取极小值C.可导且导数等于零D.可导且导数不为零【答案
2、】D【解析】因为lim ex0导，所以选 D.-1 = 1 =xxf (0) ，故连续；又因为limx0ex -1-1x=xex -1- x2 x2= 1 ，故可23 .有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 2cm / s ， -3cm / s ，当底面半径为10cm，高为 5cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为A.125pcm3 / s ,40pcm2 / sB.125pcm3 / s ,- 40pcm2 / sC.-100pcm3 / s ,40pcm2 / sD.-100pcm3 / s ,- 40pcm2 / s【答案】 C.【解析】 dr = 2 ， dh =
3、 -3 ；V = r2h ， S = 2rh + 2r2 .dtdtdV = 2rh dr + r2 dh = -100 .dtdtdtdS = 2h dr + 2r dh + 4r dr = 40 .dtdtdtdt4 .设函数 f (x) = ax - b ln x(a 0) 有 2 个零点，则 b 的取值范围aA. (e, +)【答案】A.B. (0, e)C.1(0, )eD. ( , +)1e【解析】 f ( x ) = ax - blnx, 若b 0 ，令 f ( x) = a - b =0 ，x得 x = b .在 0 b ( ) 0. ， , fx0,，+ aa alim f
4、( x) = +, lim f ( x) = + ，x0+x+令 f b =b - bln b = b 1- ln b 1 ，即 b e .故选 A. a aa aa5 .设函数 f (x) = sec xA. a = 1, b = - 12C. a = 0, b = - 12在 x = 0 处的 2 次泰勒多项式为1+ ax + bx2 ，则B. a = 1, b = 12D. a = 0, b = 12【答案】 D.【解析】 f ( x) = sec x = f (0) + f (0) x +f (0) x2 + o (x2 ) = 1+ 1 x2 + o (x2 ) .22所以可得 a
5、= 0 ， b = 1 .26.设函数 f (x, y) 可微，且 f (x +1, ex ) = x(x +1) 2, f (x, x 2 ) = 2x 2 ln x, 则df (1,1) =A. dx + dyB. dx - dyC. dyD. -dy【答案】选 C【解析】由于 f ( x +1, e x ) = x( x +1)2 ，两边同时对 x 求导得f1( x +1, e x ) + f2( x +1, e x )e x = ( x +1)2 + 2 x( x +1) .令 x = 0 得 f (1,1) + f (1,1) = 1+ 0 , f (x, x2 ) + f (x,
6、x2 )2x = 4x ln x + 2x2 1 ;1212x令 x = 1 得 f1(1,1) + 2 f2(1,1) = 2 .因此 f1(1,1) = 0 ； f 2(1,1) = 1 .所以df (1,1) = dy ，故选 C.17. 设函数 f (x) 在区间0,1 上连续，则0 f (x)dx =n 2k -1 1n 2k -1 1A. lim f B. lim f n k =1 2n 2nn k =1 2n n2n k -1 12n k 2C. lim f D. lim f n k =1【答案】选 B 2n nn k =1 2n n【解析】将0,1的区间 n 等分，每一份取区间
7、中点的函数值 f k - 1 ，故选 B. n2n 8. 二次型 f ( x , x , x ) = ( x + x ) 2 + ( x + x ) 2 - ( x - x ) 2 的正惯性指数与负惯性指数依123122331次为A. 2，0B.1，1C. 2，1D.1，2【答案】选 B【解析】f ( x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2123122331= x2 + 2x x + x2 + x2 + 2x x + x2 - x2 + 2x x - x211 2222 3331 31= 2x2 + 2x x + 2x x + 2x x
8、.21 22 31 3 0 11 二次型对应矩阵为12 1 ,110 l-1-1l+10-l-1| lE - A |= -1-1l- 2-1-1 = -1l-1l- 2-1-1l100= (l+1) -1-1l- 2-1-2l-1则 p = 1q = 1 .= (l+1)(l- 2)(l-1) - 2= l(l+1)(l- 3)9.设 3 阶矩阵 A= (1, 2 , 3 ), B = ( 1, 2 , 3 ), 若向量组 1 , 2 , 3 可以由向量组 1 , 2 , 3线性表出，则（）A. Ax=0 的解均为 Bx=0 的解.B. AT x=0 的解均为 BT x=0 的解.C. Bx=
9、0 的解均为 Ax=0 的解.D. BT x=0 的解均为 AT x=0 的解.【答案】D【解析】由题意，可知 A = BC ， BT x=0 的解均为C T BT x =0 的解，即 AT x=0 的解，D选项正确. 10-110 .已知矩阵 A = 2-11 ，若下三角可逆矩阵 P 和上三角可逆矩阵Q ，使得 PAQ 为 -125 对角矩阵，则 P、Q 分别取（）. 100 101 100 100 A. 010 , 013B. 2-10 , 010 001 001 -321 001 100 101 100 12-3C. 2-10 , 013D. 010 , 0-12 -321 001 13
10、1 001 【答案】C 100 10-1 101 100 【解析】通过代入验证 2-10 2-11 013= 010 . -321 -125 001 00 10选 C二、填空题（11-16 小题，每小题 5 分，共 30 分）11. + x 3- x2 dx = .-【答案】1ln3【解析】原式= 2+ x3- x2 dx =0+ 3- x2 dx 2 = -0x = 2et + t +1,1ln 3- x2 +301=ln 312. 设函数 y = y ( x ) 由参数方程确定，则 y = 4 (t -1)et + t 2.d2 ydx2t =02【答案】.3【解析】dyy(t )4et
11、+ 4 (t -1)et + 2tdx = x(t ) =2e t +1d2 ydx2t =0= d (2t ) dt= 1= 2t ,= 2t =0dtdxt =022e t +1313 .设函数 z = z(x, y) 由方程(x +1)z + y ln z - arctan(2xy) = 1 确定，则=.zx(0,2)【答案】1【解析】将 x = 0, y = 2 代入得 z = 1 ，又对(x +1)z + y ln z - arctan (2xy ) = 1 两边同时求 x 的导数得z + (x +1) z + y 1 z -xz x2 y= 01+ (2xy)2将 x = 0, y = 2, z = 1 代入上式得 z = 1 .txt214. 已知函数 f (t) = 1dx x sinxdy
