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1、湖南省常德市桃源县深水港乡中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）参考答案：C（解1）由已知，令，得或，当时，；且，有小于零的零点，不符合题意。当时，要使有唯一的零点且0，只需，即，选C（解2）：由已知，=有唯一的正零点，等价于有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧，记，由，要使有唯一的正零根，只需，选C2. 已知复数，且为实数，则 A.3B. 2C. D
2、. 参考答案：略3. 已知i是虚数单位，则复数的模为()A.1 B.2 C. D.5参考答案：C4. 已知函数是偶函数，且，则A、 B、1 C、 D、5参考答案：D为偶函数，.5. 直线y=2b与双曲线（a0，b0）的左支、右支分别交于A、B两点，O为坐标原点，且AOB为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（）ABC D参考答案：B【考点】双曲线的简单性质【分析】由等腰直角三角形的性质，求得A点坐标，代入双曲线方程，求得a和b的关系，由离心率公式即可求得双曲线的离心率【解答】解：由题意可知：直线y=2b与y轴交于C点，AOB为等腰直角三角形，则BAO=ABO=45，则AC=2b，AOB为等腰直
3、角三角形，A（2b，2b），将A代入双曲线=1，可得，b=a，e=，双曲线的离心率，故选：B6. 已知复数,则使的的值为A. B.C. D. 参考答案：C7. 函数在定义域R内可导，若，且当时，。设则（ ）A B C D 10、参考答案：B8. 已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合，如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则实数的取值范围是 参考答案：或略9. 四棱锥的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如下(AB平行于主视图投影平面)则四棱锥的体积= ( ) A24 B18 C D8参考答案：D10. 已知等差数列的公差d不为0，等比数列的公比q是小于1
4、的正有理数，若，且是正整数，则的值可以是（ ） A. B.- C. D.-参考答案：C由题意知，所以，因为是正整数，所以令，为正整数。所以，即，解得，因为为正整数，所以当时，。符合题意，选C.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图, 四棱锥中，垂直平分.，则的值是 参考答案：试题分析:设的中点为,因,所以,即,所以,又因为,即,所以,故应填答案.考点：空间向量的计算法则及运用【易错点晴】空间向量的几何形式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查空间向量的几何形式的运算和数量积公式的灵活运用.求解时先依据向量且,并充分利用这一隐含信息.从
5、而将化为,从而使得问题巧妙获解.12. 曲线在点（0,1）处的切线方程为_.参考答案：试题分析：，当时，那么切线斜率，又过点，所以切线方程是考点：导数的几何意义【方法点睛】求曲线在某点处的切线方程，基本思路就是先求函数的导数，然后代入，求函数在此点处的导数，就是切线的斜率，然后再按点斜式方程写出，还有另外一种问法，就是问过某点的切线方程，问题，就难了，如果是这样问，那所给点就不一定是切点了，所以要先将切点设出，然后利用此点处的导数就是切线的斜率，和两点连线的斜率相等，与点在曲线上联立方程，求出切点，然后再求切线方程13. 如图所示的程序框图输出的结果为_.参考答案：略14. “无字证明”(pr
6、oofs without words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角恒等变换公式:_ _.图甲 图乙参考答案：15. 当恒成立，则的取值范围是 参考答案：答案：16. 为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6、12、18。若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为 。参考答案：6【知识点】分层抽样方法I1解析：乙组城市数所占的比例为=，样本容量为12，故乙组中应抽取的城市数为12=6，故答案为：6【思路点拨】用样本容量乘以乙组城市数所占的比
7、例，即得乙组中应抽取的城市数17. 在ABC中，a、b、c分别ABC内角A、B、C的对边，若c2=（ab）2+6，C=，则ABC的面积是 参考答案：考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：利用余弦定理列出关系式，把cosC的值代入整理得到关系式，已知等式变形后代入求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积解答：解：由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC=a2+b2ab，即a2+b2=c2+ab，c2=（ab）2+6=a2+b22ab+6=c2ab+6，即ab=6，则SABC=absinC=，故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练
8、掌握余弦定理是解本题的关键三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）已知R，函数，.（）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求的值；（）设，若对任意的，且，都有，求的取值范围参考答案：（1），或；（2）可得，依题意有，对任意，有恒成立由，可得.考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性【技巧点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、导数在研究不等式恒成立问题的应用，属于综合性较强的难题；处理含参数的不等式恒成立问题，往往是合理分离参数，将问题转化为求函数最值问题；处理导数的几何意义问题，要注意区分“过某点
9、的切线”和“在某点的切线”的区别.19. 记U=1，2，100，对数列an（nN*）和U的子集T，若T=?，定义ST=0；若T=t1，t2，tk，定义ST=+例如：T=1，3，66时，ST=a1+a3+a66现设an（nN*）是公比为3的等比数列，且当T=2，4时，ST=30（1）求数列an的通项公式；（2）对任意正整数k（1k100），若T?1，2，k，求证：STak+1；（3）设C?U，D?U，SCSD，求证：SC+SCD2SD参考答案：【考点】数列的应用；集合的包含关系判断及应用；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合【分析】（1）根据题意，由ST的定义，分析可得ST=a2+a4=a2+
10、9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由ST的定义，分析可得STa1+a2+ak=1+3+32+3k1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=?C（CD），B=?D（CD），则AB=?，进而分析可以将原命题转化为证明SC2SB，分2种情况进行讨论：、若B=?，、若B?，可以证明得到SA2SB，即可得证明【解答】解：（1）当T=2，4时，ST=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1=1，故an=3n1，（2）STa1+a2+ak=1+3+32+3k1=3k=ak+1，（3）设A=?C（CD），B=?D（CD），
11、则AB=?，分析可得SC=SA+SCD，SD=SB+SCD，则SC+SCD2SD=SA2SB，因此原命题的等价于证明SC2SB，由条件SCSD，可得SASB，、若B=?，则SB=0，故SA2SB，、若B?，由SASB可得A?，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若ml+1，则其与SAai+1amSB相矛盾，因为AB=?，所以lm，则lm+1，SBa1+a2+am=1+3+32+3m1=，即SA2SB，综上所述，SA2SB，故SC+SCD2SD【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述20. 在ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，a2+b2
12、+c2=ab+bc+ca（1）证明ABC是正三角形；（2）如图，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=，求sinBAD的值参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】（1）由已知利用配方法可得（ab）2+（bc）2+（ca）2=0，从而可求a=b=c，即ABC是正三角形（2）由已知可求AC=2CD，ACD=120，由余弦定理可解得CD=1，又BD=3CD=3，由正弦定理可得sinBAD【解答】解：（1）证明：a2+b2+c2=ab+ac+bc，2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，（ab）2+（bc）2+（ac）2=0，a=b=cABC为等边三角形（2）ABC是等边三角
13、形，BC=2CD，AC=2CD，ACD=120，在ACD中，由余弦定理可得：AD2=AC2+CD22AC?CDcosACD，可得：7=4CD2+CD24CD?CDcos120，解得CD=1，在ABC中，BD=3CD=3，由正弦定理可得sinBAD=21. 在平面直角坐标系中，已知点，为动点，且直线与直线的斜率之积为. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设过点的直线与曲线相交于不同的两点，.若点在轴上， 且，求点的纵坐标的取值范围.参考答案：（1）设动点的坐标为，依题意可知， 动点的轨迹的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，满足条件的点的纵坐标为. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 由题意可知， 将代入并整理得， . . 设，则， . 设的中点为，则， 所以. 又直线的垂直平分线的方程为. 令解得 . 当时，因为，所以； 当时，因为，所以. 综上所述，点纵坐标的取值范围是.
