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1、湖南省岳阳市建新中学高二数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）ABCD参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设圆柱底面积半径为r，求出圆柱的高，然后求圆柱的全面积与侧面积的比【解答】解：设圆柱底面积半径为r，则高为2r，全面积：侧面积=（2r）2+2r2：（2r）2=故选A2. 从1,2,3,4中随机选取一个数为，从1,2中随机选取一个数为，则的概率是（ ） A.B. C. D. 参考答案
2、：A3. 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，表示所取球的标号. 若，, 则的值为A. B. C. D. 参考答案：A4. 已知过点恰能作曲线的两条切线，则的值是 A B C D或参考答案：D5. 对于三段论“因为指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”下列说法正确的是（）A. 是一个正确的推理。 B.大前提错误导致结论错误 C. 小前提错误导致结论错误 D. 推理形式错误导致结论错误参考答案：B略6. 已知复数 （i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参
3、考答案：D【分析】将复数化简成形式，则在复平面内对应的点的坐标为，从而得到答案。【详解】由题，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限故选D.【点睛】本题考查复数的计算以及几何意义，属于简单题。7. 点的坐标满足条件，若 ,且，则的最大值为( ） （A）2 （B）3 （C）4 （D）5参考答案：D8. 已知数列的首项，且，则为 （ ）A7 B15 C30 D31参考答案：Dan=2an-1+1 ,a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31，故选D.9. 已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（）A
4、圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线参考答案：A【考点】椭圆的简单性质；轨迹方程【专题】探究型【分析】已知椭圆的焦点和椭圆上的一个动点，由椭圆定义有|PF1|+|PF2|=2a，又|PQ|=|PF2|，代入上式，可得|F1Q|=2a再由圆的定义得到结论【解答】解：|PF1|+|PF2|=2a，|PQ|=|PF2|，|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a即|F1Q|=2a动点Q到定点F1的距离等于定长2a，动点Q的轨迹是圆故选A【点评】本题主要考查椭圆和圆的定义的应用，在客观题中考查较多，题目很灵活，而在多步设的大题中，第一问往往考查曲线的定义，应熟练掌握10. 若三点共线，为空间任意一点
5、，且，则的值为（ ）1参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. .某校某次数学考试的成绩服从正态分布，其密度函数为密度曲线如右图，已知该校学生总数是10000人,则成绩位于的人数约是 .参考答案：9544略12. 设a0，若关于x的不等式在恒成立， 则a的取值范围为 .参考答案：9,+)13. 已知F1、F2是椭圆C：（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且若PF1F2的面积为9，则b=参考答案：3【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a， =4c2，由此能得到b的值【解答】解：F1、F2是椭
6、圆C：（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且|PF1|+|PF2|=2a， =4c2，（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1|PF2|=4a2，36=4（a2c2）=4b2，b=3故答案为3【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识14. 的展开式中x2y2的系数为（用数字作答）参考答案：70【考点】二项式定理【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数【解答】解：的展开式的通项公式为 Tr+1=?（1）r?=?（1）r?，令 8=4=2，求得 r=4，故展开式中x2y2的系数为 =70，故答案为：7015
7、. 已知为锐角，则= 参考答案：3【考点】GG：同角三角函数间的基本关系【分析】由为锐角和cos的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin的值，进而求出tan的值，然后把所求的式子利用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tan的值代入即可求出值【解答】解：由为锐角，cos=，得到sin=，所以tan=2，则tan（+）=3故答案为：316. 椭圆的焦点为,两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为参考答案：17. 若一个圆的圆心为抛物线的焦点，且此圆与直线相切，则这个圆的方程是 . 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，
8、证明过程或演算步骤18. 已知抛物线：，直线：，点是直线上任意一点，过点作抛物线的切线，切点分别为，直线斜率分别为，如图所示 .（1）若，求证：；（2）当在直线上运动时，求证：直线 过定点，并求出该定点坐标.参考答案：解：（1）设过的切线方程为：，代入抛物线，消去得：，由，所以：，该方程的两个根为直线斜率，所以：.-5分（2）设，切点对求导数，所以：故：直线：， 直线：由于，所以：，：由于直线，都过点，有： ，这说明满足直线的方程，所以直线为：，再由所以为：， 即过定点.-12分略19. (12分)已知函数f(x)x2lnx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当x1时，x2lnx0，
9、f(x)x，故f(x)0 2分，f(x)的单调增区间为(0，) 4分(2)设g(x)x3x2lnx，g(x)2x2x，6分当x1时，g(x)0，当x1时，x2lnxx3. ，12分20. 已知椭圆（ab0）的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为（）求圆的方程；（）四边形ABCD的顶点在椭圆C上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，若（1）求的取值范围；（2）证明：四边形ABCD的面积为定值参考答案：【考点】椭圆的简单性质【分析】（I）由椭圆的离心率和椭圆的四个顶点所围成菱形的面积，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆的方程（II）（1）当直线AB的斜率不存在时， =2当直线AB的斜率存在时
10、，设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0，由此利用根的判别式、向量的数量积运算法则，结合已知条件能求出的取会晤范围）（2）设原点到直线AB的距离为d，由此利用点到直线的距离公式、弦长公式能证明四边形ABCD的面积为定值【解答】（本小题满分14分）解：（I）椭圆（ab0）的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为，由已知，a2=b2+c2，解得a=2，b=c=2，椭圆的方程为（II）（1）当直线AB的斜率不存在时， =2当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4k
11、mx+2m28=0，=（4km）24（1+2k2）（2m28）=8（8k2m2+4）0，（m24）kOA?kOB=kAC?kBD，=，=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=+km?+m2=，=，（m24）=m28k2，4k2+2=m2，=x1x2+y1y2=2，2=242，且的最大值为22，0）（0，2证明：（2）设原点到直线AB的距离为d，则SAOE=|AB|?d=?|x2x1|?=2=2，S四边形ABCD=4SAOB=8为定值21. 如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DCAB，BAD，且AB2AD2DC2PD4，E为PA的中点（1）证明：DE平面P
12、BC；（2）证明：DE平面PAB参考答案：略22. （10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分 （）求抛物线E的方程；（）求直线AB的方程参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程【分析】（）令抛物线E的方程，根据抛物线E的焦点为（1，0），即可求得结论；（）利用点差法，结合线段AB恰被M（2，1）所平分，求出AB的斜率，即可求得直线AB的方程【解答】解：（）令抛物线E的方程：y2=2px（p0）抛物线E的焦点为（1，0），p=2抛物线E的方程：y2=4x （）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，得（y2y1）/（y1+y2）=4（x2x1）线段AB恰被M（2，1）所平分y1+y2=2=2AB的方程为y1=2（x2），即2xy3=0【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题
