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1、2022年山西省太原市化学工业集团有限公司第一中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则A BC D参考答案：B略2. 已知，则（ ）ABCD参考答案：C略3. 记集合和集合表示的平面区域分别为，若在区域内任取一点，则点M落在区域内的概率为（ ）A B C D参考答案：A略4. 将函数的图象按向量平移后所得的图象关于对称，则向量的坐标可能为（ ）A B C D参考答案：B略5. 已知，则等于 ( ) AB CD参考答案：D6. 如图，
2、在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是参考答案：D7. 我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A4B5C2D3参考答案：A【考点】E8：设计程序框图解决实际问题【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，A，S的值，当S=时，满足条件S10，退出循环，输出n的值为4，从而得解【解答】解：模拟执行程序，可得a=
3、1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=不满足条件S10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=不满足条件S10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=满足条件S10，退出循环，输出n的值为4故选：A8. 若， ，则 （ ）AB CD参考答案：C ：因为 ，所以，故选C.9. 如图，正六边形中，( )ABC D参考答案：D略10. 已知偶函数上满足f(x)0则不等式的解集是 （ ）A B C D参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则_参考答案：略12. 的值为 .参考答案：13. 若函数满足，对定义域内的
4、任意恒成立，则称为m函数，现给出下列函数：； ；其中为m函数的序号是 。（把你认为所有正确的序号都填上）参考答案：若，则由得，即，所以不存在常数使成立，所以不是m函数。若，由得，此时恒成立，所以是m函数。若，由得，所以当时，成立，所以是m函数。若，则由得，即，所以，要使成立则有，所以方程无解，所以不是m函数。所以为m函数的序号是。14. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .参考答案：15. 观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第个等式为_.参考答案：试题分析：观察这些等式，第一个式子左边1个数，从1开始；第二个式子3
5、个数相加，从2开始；第三个式子5个数相加，从3开始；第个式子有个数相加，从开始；等式的右边为前边个数的中间数的平方，故第个等式为.考点：归纳推理的应用.16. 已知函数为奇函数，则 .参考答案：4考点：函数的奇偶性17. 若关于的方程有实根，则实数的取值范围是 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，直线AF2的斜率为，点P，Q在椭圆E上，其中P是椭圆上一动点，Q点坐标为.(1)求椭圆E的标准方程；(2)作直线l与x轴垂直，交椭圆于H，K两点（H，K两点均不与P点重
6、合)，直线PH，PK与x轴分别交于点M，N.求的最小值及取得最小值时点P的坐标.参考答案：（1）（2）的最小值为，此时点P的坐标为或【分析】（1）根据直线的斜率求得，将点坐标代入托运方程，解出的值，进而求得的值以及椭圆方程.（2）设出三个点的坐标，由直线的方程求得点坐标以及,由直线的方程求得点坐标以及.利用基本不等式求得的最小值.根据基本不等式等号成立的条件以及绝对值的性质，求出点的坐标.【详解】(1)由直线的斜率为可知直线的倾斜角为. 在中，,于是,椭圆将代入得所以，椭圆E的标准方程 (2)设点.于是，直线,令,所以 直线，令，所以 又.代入上式并化简即， 当(即)时取得最小值，（）时，化简
7、得根据题意：，若亦与题意不符，所以，此时或（）时，化简得将代入并化简得：根据题意：，若，而所以 不成立，即不成立综上，或，点P的坐标为或【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线斜率的概念，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程以及利用基本不等式求最小值的方法，运算量较大，属于难题.19. 用部分自然数构造如图的数表：用每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和。设第行中的各数之和为.（1）写出的递推关系（不要求证明）；（2）令是等比数列，并求出的通项公式；（3）数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出p，q，r的关系；若不存在，说明理由。参考答案：略20. ( 本小
8、题满分12分)已知数列，前项和，且方程有一根为（1，2，3）（）求的值（）猜想数列的通项公式，并给出严格证明。（）设数列的前项和，试比较与的大小 参考答案：()当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1 3分 当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a2 5分 ()由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，Sn22Sn1anSn0当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10由()知S1a1，S2a1a2由可得S3由此猜想Sn，n1，2，3， 7分 下面用数学归纳法证明这个结论(i)n1时已
9、知结论成立(ii)假设nk时结论成立，即Sk，当nk1时，由得Sk1，即Sk1，故nk1时结论也成立 11分 综上，由(i)、(ii)可知Sn对所有正整数n都成立 12分21. （本小题满分13分）已知圆的方程为，过点作圆的两条切线，切点分别为、，直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆相交于两点，是椭圆上异于、的任意一点，直线、分别交定直线于两点、，求证为定值. 参考答案：解：（） 观察知，是圆的一条切线，切点为，-1分设为圆心，根据圆的切线性质， -2分所以， -3分所以直线的方程为 -4分直线与轴相交于，依题意， -5分所求椭圆的方程为 -6分 （）椭圆方程为，设则有， -7分 在直线的方程中，令，整理得 同理， -9分，并将代入得 =. -12分而=为定值.-13分略22. 已知函数，当时，函数取得极大值.（1）求实数的值；（2）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；（3）已知正数满足求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数,都有参考答案：当时，函数在区间上单调递减.函数在处取得极大值，故.3分（）令，4分则.函数在上可导，存在，使得.又当时，单调递增，；当时，单调递减，；故对任意，都有.8分（）用数学归纳法证明.当时，且，由（）得，即，当时，结论成立.9分略
