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1、湖北省黄石市金牛镇中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，且，则等于 A. B. C. D.参考答案：C，由得，解得，因为，所以解得，所以，选C.2. 已知集合，则( )A BC D参考答案：3. 已知函数 f（x）=5，若对任意的，都有f（x1）g（x2）2成立，则a的取值范围是（）A（0，+）B1，+）C（，0）D（，1参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性；抽象函数及其应用【分析】根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为axx2lnx在x2上恒成立，构造函数h（x）=xx
2、2lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可【解答】解：函数g（x）的导数g（x）=3x22x=x（3x2），函数g（x）在，上递减，则，2上递增，g（）=，g（2）=845=1，若对任意的，都有f（x1）g（x2）2成立，即当x2时，f（x）1恒成立，即恒成立，即axx2lnx在x2上恒成立，令h（x）=xx2lnx，则h（x）=12xlnxx，h（x）=32lnx，当在x2时，h（x）=32lnx0，即h（x）=12xlnxx在x2上单调递减，由于h（1）=0，当x1时，h（x）0，当1x2时，h（x）0，h（x）h（1）=1，a1故选：B4. 已知 若则等于（
3、 ）A B. C. D. 参考答案：B略5. 已知a，b为非零实数，且ab，则下列命题一定成立的是（）参考答案：C6. 已知是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点.若为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 （ ）A. B. C. D. 参考答案：A7. 若x1、x2、x3、x10的平均数为3，则3（x12）、3（x22）、3（x32）、3（x102）的平均数为（）A3B9C18D27参考答案：A【考点】众数、中位数、平均数【分析】根据题意，由x1、x2、x3、x10的平均数为3，由平均数公式分析可得x1+x2+x3+x10=30，对于数据3（x12）、3（x22）、
4、3（x32）、3（x102），由平均数公式可得= 3（x12）+3（x22）+3（x102），计算可得答案【解答】解：根据题意，x1、x2、x3、x10的平均数为3，则有（x1+x2+x3+x10）=3，即x1+x2+x3+x10=30，对于数据3（x12）、3（x22）、3（x32）、3（x102），其平均数= 3（x12）+3（x22）+3（x102）=3（x1+x2+x3+x10）60=3；故选：A【点评】本题考查数据平均数的计算，关键是牢记平均数计算的公式8. 对于函数(其中)，选取的一组值计算 和，所得出的正确结果一定不可能是（ ） A、4和6 B、2和1 C、2和4 D、1和3参考
5、答案：B略9. 三个数的大小顺序是 ( ）A BC D参考答案：A10. 若0xy1，则（）A3y3xBlogx3logy3Clog2xlog2yD参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据已知中0xy1，结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，可得答案【解答】解：0xy1，根据指数函数的单调性，可得3y，根据对数函数的单调性，可得logx3logy3，log2xlog2y，故选D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是 参考答案：【考点】导数的几何意义 【专题】计算题；数形结合【分析】由导函数的
6、几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出k的范围，再根据k=tan，结合正切函数的图象求出角的范围【解答】解：根据题意得f（x）=，且k0则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率k1，又k=tan，结合正切函数的图象由图可得，故答案为：【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想12. 已知向量，且，则 参考答案： 13. 已知向量与的夹角为,且,若,且,则实数的值为_参考答案：略14. 已知抛物线，焦点为F，过F点的直线l交抛物线于A，B两点，则的最小值
7、为 参考答案：F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x），（k0）联立 ，化为k2x2（k2+2）x+k2=0x1x2=|AF|+2|BF|=x1+2（x2+）=x1+2x2+2+=，当且仅当x1=2x2=时取等号当直线AB的斜率不存在时，|AF|+2|BF|=3p=3综上可得：|AF|+2|BF|的最小值为：故答案为：15. 已知函数，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则关于有下列命题，函数是奇函数；函数不是周期函数；函数的图像关于点中心对称；函数的最大值为.其中真命题是_. 参考答案：16. 已
8、知是等差数列的前项和，且，有下列五个命题： ； ； ； 数列中的最大项为； .其中正确的命题是 （写出你认为正确的所有命题的序号）参考答案：、17. 已知函数为奇函数，若，则参考答案：答案：1解析：由函数为奇函数得，填1三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （13分）设函数f（x）=x2alnx（aR），g（x）=x2（a+1）x（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a0时，讨论函数f（x）与g（x）的图象的交点个数参考答案：【考点】函数单调性的判断与证明【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调区间即可；（2）令F（x）=
9、f（x）g（x），问题转化为求函数F（x）的零点个数，通过讨论a的范围，求出函数F（x）的单调性，从而判断函数F（x）的零点个数即f（x），g（x）的交点即可【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=，当a0时，f（x）0，所以 f（x）的增区间是（0，+），无减区间；当a0时，f（x）=；当0x时，f（x）0，函数f（x）单调递减；当x时，f（x）0，函数f（x）单调递增综上，当a0时，函数f（x）的增区间是（0，+），无减区间；当a0时，f（x）的增区间是，减区间是（2）令F（x）=f（x）g（x）=，问题等价于求函数F（x）的零点个数当a=0时，F（x）=+x，x0，
10、F（x）有唯一零点；当a0时，F（x）=当a=1时，F（x）0，当且仅当x=1时取等号，所以F（x）为减函数注意到F（1）=0，F（4）=ln40，所以F（x）在（1，4）内有唯一零点；当a1时，当0x1，或xa时，F（x）0；1xa时，F（x）0所以F（x）在（0，1）和（a，+）上单调递减，在（1，a）上单调递增注意到F（1）=a+，所以F（x）在（1，2a+2）内有唯一零点；当0a1时，0xa，或x1时，F（x）0；ax1时，F（x）0所以F（x）在（0，a）和（1，+）上单调递减，在（a，1）上单调递增注意到F（1）=a+，所以F（x）在（1，2a+2）内有唯一零点综上，F（x）有唯一
11、零点，即函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点【点评】本题考查了函数的单调性、零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题19. （本小题满分13分）设等差数列的前项和为，且 （）求数列的通项公式（）设数列的前项和为，且（为常数）。令，求数列的前项和参考答案： 两式相减得 12分 整理得 以 数列的前项和 13分20. （本小满分12分）在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下（）计算样本的平均成绩及方差；（）现从80分以上的样本中随机抽出2名学生，求抽出的2名学生的成绩分别在、上的概率参考答案：（）80,175;（） （）
12、样本的平均成绩，2分方差4分；6分（）从80分以上的样本中随机抽出2名学生，共有10种不同的抽取方法，8分而抽出的2名学生的分数分别在，上共有6中不同的抽取方法，因此所求的概率为12分21. 设,是上的偶函数. () 求的值; () 证明:在上是增函数.参考答案：略22. 如图1,在等腰直角三角形中,分别是上的点,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.() 证明:平面；() 求二面角的平面角的余弦值.参考答案：() 在图1中,易得连结,在中,由余弦定理可得由翻折不变性可知,所以,所以,理可证, 又,所以平面.() 传统法:过作交的延长线于,连结,因为平面,所以,所以为二面角的平面角.结合图1可知,为中点,故,从而所以,所以二面角的平面角的余弦值为.向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,所以,设为平面的法向量,则,即,解得,令,得由() 知,为平面的一个法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值为.
