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1、广东省湛江市收获中学高三数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则=（ ）A B C D参考答案：【知识点】复数运算L4D 解析：因为，所以，故选 D.【思路点拨】有运算性质直接计算即可.2. 如图，三棱锥中，若三棱锥的四个顶点在同一球面上，则这个球的表面积为A. B. C. D. 参考答案：答案：A 3. 函数在坐标原点附近的图象可能是参考答案：A函数为奇函数，所以B不正确，定义域中没有，所以D不正确，当时，函数值为正，所以C不正确，答案选A.4. 已知非零向量满足且，则与的夹角为( )A. B.
2、 C. D. 参考答案：D【分析】求出，即可求出结论.【详解】，与的夹角为.故选:D【点睛】本题考查向量的数量积运算，以及向量垂直的判定，属于基础题.5. 直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是 A3x2y10 B3x2y70C2x3y50 D2x3y80参考答案：A6. 设命题p：?nN，n22n，则p为( )A?nN，n22nB?nN，n22nC?nN，n22nD?nN，n2=2n参考答案：C【考点】命题的否定 【专题】简易逻辑【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论【解答】解：命题的否定是：?nN，n22n，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比
3、较基础7. 已知函数满足，则的最小值为 （ ） A B2 C D参考答案：C8. 函数的零点是( )A.0 B. C. D参考答案：B9. （5分）平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径ra的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率是（ ） A B C D 参考答案：A【考点】： 几何概型计算题【分析】： 欲求硬币不与任何一条平行线相碰的概率，利用几何概型解决，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，只须求出线段OM长度，最后利用它们的长度比求得即可解：为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M；线段OM长度的取值范围就是0，a，只有当r
4、OMa时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P=（ar）（a0）=故选A 【点评】： 本题考查古典概型，考查几何概型，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题10. 已知A、B为双曲线=1（a0，b0）的左右顶点，F1，F2为其左右焦点，双曲线的渐近线上一点P（x0，y0）（x00，y00），满足=0，且PBF1=45，则双曲线的离心率为（）ABCD参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】由题意可得PF1PF2，|PO|=|F1F2|=c，求出双曲线的一条渐近线方程，可得x0，y0的方程，解方程可得P的坐标，解直角三角形PA
5、B，可得b=2a，求出a，c的关系，运用离心率公式即可得到所求值【解答】解：F1，F2为其左右焦点，满足=0，可得PF1PF2，|PO|=|F1F2|=c，由双曲线的渐近线方程y=x，即有x02+y02=c2，bx0+ay0=0，解得P（a，b），则PAAB，又PBF1=45，则|PA|=|AB|，即有b=2a，可得c=a，则e=故选：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为 参考答案：12. 若表示两数中的最大值，若，则的最小值为 ，若关于对称，则 参考答案：；13. 若f（x）=2sinx（01在区间0，上的最大值
6、是，则 参考答案：14. 若是奇函数，则实数=_。参考答案：略15. 若等式sin+cos=能够成立，则m的取值范围是_.参考答案：16. 在如图的程序框图中，输出的值为，则，=.参考答案：517. 已知函数，当时，函数的最大值为_ .参考答案：【分析】对函数进行求导，判断单调性，求出函数的最大值。【详解】因为，所以函数是上的增函数，故当时，函数的最大值为。【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，求函数的最大值问题。三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分14分）已知函数（）求的单调区间；（）若在上恒成立，求所有实数的值；（）对任意
7、的，证明：参考答案：（1）， 1分 当时，减区间为 2分 当时，由得，由得 3分 递增区间为，递减区间为 4分（2）由（1）知：当时，在上为减区间，而 在区间上不可能恒成立 5分当时，在上递增，在上递减，令， 6分依题意有，而，且在上递减，在上递增，故 9分（3）由（2）知：时，且恒成立即恒成立 则 11分又由知在上恒成立， 13分综上所述：对任意的，证明： 14分19. 已知数列an的前n项和Sn满足 (n2,nN)，且.（1）求数列的通项公式an；（2）记，Tn为bn的前n项和，求使成立的n的最小值.参考答案：（1）由已知有，数列为等差数列，且，即， 当时，又也满足上式，；（2）由（1）知
8、， 由有，有，所以，的最小值为5. 20. （满分5分）设函数，（其中为自然底数）； （）求（）的最小值；Ks5u （）探究是否存在一次函数使得且对一切恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由； （）数列中，求证：。参考答案：（）时，易知时、时；所以时求取最小值等于0；-4分 （）由题易知，所以；-6分 所以可设，代入得恒成立，所以，所以，；-8分此时设，则，易知，即对一切恒成立；综上，存在符合题目要求，它恰好是图象的公切线。-Ks5u-10分 （）先证递减且； 由题（）知，所以，即为递减数列； 又，所以，因为当时总有，所以；-Ks5u-13分 所以 。-15分略21. （13
9、分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1，曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线为l（）若直线l的斜率为3，求函数f（x）的单调区间；（）若函数是f（x）区间2，a上的单调函数，求a的取值范围参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 【专题】转化思想；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由条件可得a=3，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；（）由题意可得当函数在2，a递增（或递减），即有f（x）0（或0）对x2，a成立，只要f（x）=x2+2x+a在2，a上的最小值（或最大值）大于等于0即可
10、求出二次函数的对称轴，讨论区间2，a和对称轴的关系，求得最小值（或最大值），解不等式即可得到所求范围【解答】解：（）因为f（0）=1，所以曲线y=f（x）经过点（0，1），又f（x）=x2+2x+a，曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为3，所以f（0）=a=3，所以f（x）=x2+2x3当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，3）3（3，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）增极大值减极小值减所以函数f（x）的单调递增区间为（，3），（1，+），单调递减区间为（3，1）；（）因为函数f（x）在区间2，a上单调，当函数f（x）在区间2，a上单调递减时，f（x）0对x2，a
11、成立，即f（x）=x2+2x+a0对x2，a成立，根据二次函数的性质，只需要，解得3a0又a2，所以2a0；当函数f（x）在区间2，a上单调递增，所以f（x）0对x2，a成立，只要f（x）=x2+2x+a在2，a上的最小值大于等于0即可因为函数f（x）=x2+2x+a的对称轴为x=1，当2a1时，f（x）在2，a上的最小值为f（a），解f（a）=a2+3a0，得a0或a3，所以此种情形不成立；当a1时，f（x）在2，a上的最小值为f（1），解f（1）=12+a0得a1，所以a1，综上，实数a的取值范围是2a0或a1【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题22. (12分)如图，已知三棱锥中，为中点，为中点，且为正三角形。（1） 求证：平面；（2） 求证：平面平面；（3） 若，求三棱锥的体积。参考答案：解析：（1），又
