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1、江西省萍乡市第一中学高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “”是“复数为纯虚数”的（ ）A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：A2. 设a,b是两个实数，且ab，。上述三个式子恒成立的有（ ）A0个B1个C2个D3个参考答案：B3. 已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，直线l的方程为axy10，则直线l与圆C的位置关系是A、相离B、相交 C、相切D、相切或相交参考答案：D圆C的标准方程为，直线l过定点（0,1），代入，可知直线过圆上的点，所以直线与
2、圆相切或相交故选D4. 已知函数，则它们的图象可能是参考答案：B 【知识点】导数 B11解析：因为，则函数即图象的对称轴为，故可排除；由选项的图象可知，当时，故函数在上单调递增，但图象中函数在上不具有单调性，故排除本题应选【思路点拨】根据函数的导数判定函数的单调性，再根据图像找出正确结果.5. 已知函数，其中，给出下列四个结论 .函数是最小正周期为的奇函数；.函数图象的一条对称轴是；.函数图象的一个对称中心为；.函数的递增区间为，.则正确结论的个数是(A) 个 (B) 个 (C) 个 ( D) 个 参考答案：C6. 若集合，则 （ ） A B C D参考答案：D7. 若集合，则=（ ）A. B
3、. C. D. 参考答案：8. 抛物线与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（ ）A BC. D参考答案：D试题分析: 抛物线的图象关于对称，与坐标轴的交点为，令圆心坐标为，可得，所以圆的轨迹方程为.故应选D.考点：圆的一般方程及运用.【易错点晴】本题以抛物线与坐标轴的交点在同一个圆上为背景，考查的是圆的一般方程与标准方程的探求等许多有关知识和运算求解及推理判断的能力.解答本题时应充分依据题设条件,依据题设条件,求出其坐标轴的交点坐标，然后运用圆的一般方程和标准方程求得圆的方程,使问题获解.9. 已知函数f (x ) =，若(x )0，则x的取值范围是（ ）A(，0) B(1，1)
4、 C(1，+) D(，1)参考答案： 答案：D10. 己知函数的图象在点处的切线与直线3x- y+2=0平行，若数列的前n项和为，则的值为 A. B. C. D. 参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直角坐标系中，动点满足，则点的轨迹方程是 ；轨迹为 参考答案：；一个圆；12. 在三棱柱ABCA1B1C1中侧棱垂直于底面，ACB=90，BAC=30，BC=1，且三棱柱ABCA1B1C1的体积为3，则三棱柱ABCA1B1C1的外接球的表面积为 参考答案：16【考点】球的体积和表面积【分析】根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可
5、得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，从而求得外接球的半径R，代入球的表面积公式计算【解答】解：三棱柱ABCA1B1C1中侧棱垂直于底面，设侧棱长为H，又三棱柱的底面为直角三角形，BC=1，BAC=30，AC=，AB=2，三棱柱的体积V=H=3，H=2，ABC的外接圆半径为AB=1，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，如图：外接球的半径R=2，外接球的表面积S=422=16故答案为：1613. 向量，且，则_参考答案：14. 复数（其中为虚数单位）的虚部为 参考答案：略15. 已知函数f(x)2ax2bx1，若a是从区间0,2上任取的一个数，b是
6、从区间0,2上任取的一个数，则此函数在1，)递增的概率为_参考答案：略16. 定义函数，其中表示不超过的最大整数，如：当时，设函数的值域为A，记集合A中的元素个数为，则式子的最小值为 参考答案：1317. 若直线与直线互相垂直，则实数 参考答案：1三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （14分）给定抛物线，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点.（）设l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；（）设，求直线l的方程.参考答案：解析：方法一：（）解：由题意，得，直线l的方程为.由, 得,设A, B两点坐标为, AB中点M的坐标
7、为,则, 故点 -3分所以,故圆心为, 直径,所以以AB为直径的圆的方程为； -6分（）解：因为, 三点A, F, B共线且点A, B在点F两侧, 所以,设A, B两点坐标为, 则, 所以 1 因为点A, B在抛物线C上, 所以, 2 -10分 由12，解得 所以, -13分 故直线l的方程为或.-14分 方法二：（）解：由题意，得，直线l的方程为.由, 得,设A, B两点坐标为, AB中点M的坐标为,因为所以, 所以, 故圆心为, -3分由抛物线定义，得,所以(其中p=2).所以以AB为直径的圆的方程为； -6分（）解：因为, 三点A, F, B共线且点A, B在点F两侧, 所以,设A, B
8、两点坐标为, 则, 所以 1 -9分 设直线AB的方程为或(不符合题意，舍去). 由，消去x得 ， 因为直线l与C相交于A, B两点，所以,则, , 2 由12，得方程组，解得或 ，-13分 故直线l的方程为或.-14分19. 已知椭圆C的中心在原点，一个焦点的坐标为F（，0），且长轴长是短轴长的倍. （1）求椭圆C的方程； （2）直线y=x-1与椭圆C交于A、B两点，求弦长AB； （3）设P是椭圆C上的任意一点，MN是圆D：x2+(y-3)2=1的任意一条直径，求的最大值.参考答案：略20. (本题满分为14分)已知，函数.(1)若，求函数的极值； (2)是否存在实数,使得恒成立？若存在,求
9、出实数的取值集合；若不存在，请说明理由参考答案：21. (本小题满分13分)已知函数（I）当时，求函数的极大值和极小值；（II）当时，试比较与的大小；（III）求证：（）参考答案：解：（1）当时，定义域是， 令，得或 2分当或时，当时， 函数在、上单调递增，在上单调递减 4分 所以的极大值是，极小值是 5分 （2）当时，定义域为 令， ， 在上是增函数 7分当时，即；当时，即；当时，即 9分（3）（法一）根据（2）的结论，当时，即令，则有，11分以上各式相加，得13分(法二)当时，即时命题成立 10分设当时，命题成立，即 时，根据（2）的结论，当时，即令，则有，则有，即时命题也成立12分因此，由数学归纳法可知不等式成立 13分22. （本小题满分12分）设的内角所对的边分别为且 （）求角的大小； （）若，求的周长的取值范围参考答案：解：（）由得 又 ，又 -（6分） （）由正弦定理得：, 故的周长的取值范围为. -（12分） （）另解：周长由（）及余弦定理 又即的周长的取值范围为. 略
