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1、河北省张家口市新保安镇中学高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知不等式组表示平面区域，过区域中的任意一个点P，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当APB最大时，?的值为（）A2BCD3参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算；简单线性规划【专题】计算题；平面向量及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线
2、x+y2=0，此时|OP|=2，|OA|=1，设APB=，则sin=，=此时cos=，?=故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键2. 若复数（R，为虚数单位位）是纯虚数，则实数的值为（ ）A B6 C4 D-2参考答案：A3. 对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件参考答案：B略4. 已知数列，把数列的各项排列成如图所示的三角形数阵。记表示该数阵中第行的第个数，则数阵中的对应于（ ） A B C D参考答案：A略5. （5分）（201
3、5?嘉兴一模）如图，已知双曲线=1（a0，b0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AFBF，设ABF=，且，则双曲线离心率e的取值范围为（） A ，2+ B ， C ， D ，+1参考答案：B【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 利用SABF=2SAOF，先求出e2=，再根据，即可求出双曲线离心率的取值范围解：设左焦点为F，令|AF|=r1，|AF|=r2，则|BF|=|FA|=r2，r2r1=2a，点A关于原点O的对称点为B，AFBF，|OA|=|OB|=|OF|=c，r22+r124c2，r1r2=2（c2a2）
4、SABF=2SAOF，r1r22?c2sin2，r1r22c2sin2c2sin2=c2a2e2=，sin2，e2=2，（+1）2e，+1故选：B【点评】： 本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的灵活运用6. 由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）AB2ln3C4+ln3D4ln3参考答案：D【考点】定积分在求面积中的应用【分析】由题意利用定积分的几何意义知，欲求由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积曲边梯形ABD的面积与直角三角形BCD的面积，再计算定积分即可求得【解答】解：根据利用定积分的几何意义，得
5、：由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积：S=（3）dx+=（3xlnx）+2=3ln31+2=4ln3故选D7. 设全集，则图中阴影部分表示的集合为A B C D 参考答案：D 【知识点】集合 A1解析：因为图中阴影部分表示的集合为，由题意可知，所以，故选【思路点拨】根据题意可以先确定集合A与B中的元素，再由韦恩图求出结果.8. 函数的最小正周期是A. B. C. 2 D. 4 参考答案：B函数，所以周期为，选B.9. 定义域为的函数图像的两个端点为、，是图象上任意一点，其中已知向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶线性近似”若函数在上“阶线性近似”，则实数的取值范围为（
6、） A B C D 参考答案：D10. 设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+2by（a0，b0）的最大值为1，则+的最小值为( )A3+2B32C8D10参考答案：A【考点】简单线性规划 【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数求得a+2b=1，然后利用基本不等式求得+的最小值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=ax+2by（a0，b0）为，联立，解得B（1，1），由图可知，当直线过B时直线在y轴上的截距最大，z有最大值为a+2b=1，+=
7、（+）（a+2b）=3+当且仅当时上式等号成立故选：A【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了基本不等式求最值，是中档题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知双曲线=1（a0，b0），过双曲线上任意一点P分别作斜率为和的两条直线l1和l2，设直线l1与x轴、y轴所围成的三角形的面积为S，直线l2与x轴、y轴所围成的三角形的面积为T，则S?T的值为参考答案：【考点】双曲线的简单性质【分析】不妨设点P在第一象限，设点P（x0，y0），得到直线l1的方程为yy0=（xx0），直线l2的方程为yy0=（xx0），再分别求出A，B，C，D的坐标，表示出
8、S，T，计算ST即可【解答】解：不妨设点P在第一象限，设点P（x0，y0）直线l1的方程为yy0=（xx0），直线l2的方程为yy0=（xx0），A（0，y0+x0），B（x0+x0，0），D（0，y0x0），C（x0y0，0），S=（y0+x0）（x0+x0），T=（y0x0）（x0y0），ST=（y02x02）（x02y02）=，故答案为：【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，比较基础12. 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则角A的大小为 参考答案：13. 点P是圆（x+3）2+（y1）2=2上的动点，点Q（2，2），O为坐标原点，则OPQ面积
9、的最小值是参考答案：2【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值，即可求出OPQ面积的最小值【解答】解：因为圆（x+3）2+（y1）2=2，直线OQ的方程为y=x，所以圆心（3，1）到直线OQ的距离为，所以圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值为，所以OPQ面积的最小值为故答案为214. 已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为_,最小值为_.参考答案： ,15. （4分）（2015?杨浦区二模）已知nN*，在坐标平面中有斜率为n的直线ln与圆x2+y2=n2相切，且ln交y轴的正半轴于点Pn，交x轴于点Qn，则的值为参考答案：【考点】： 极限及其运算；直线与圆的
10、位置关系【专题】： 直线与圆【分析】： 设切线ln的方程为：y=nx+m，由于直线ln与圆x2+y2=n2相切，可得=n，取m=n可得切线ln的方程为：y=nx+n，可得Pn，Qn，可得|PnQn|再利用数列极限的运算法则即可得出解：设切线ln的方程为：y=nx+m，直线ln与圆x2+y2=n2相切，=n，取m=n切线ln的方程为：y=nx+n，Pn，Qn|PnQn|=1+n2=故答案为：【点评】： 本题考查了直线的方程、直线与圆的相切性质、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16. 已知f（x）=cosx，g（x）=sinx，记Sn
11、=2，Tm=S1+S2+Sm，若Tm11，则m的最大值为参考答案：5略17. _.参考答案：试题分析：原式，故答案为.考点：（1）降幂公式；（2）两角和与差的余弦公式.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为；白色球2个，编号分别为从盒子中任取3个小球（假设取到任何一个小球的可能性相同）（1）求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率（2）在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为，求随机变量的分布列参考答案：（1）；（2）见解析（2）可能的取值为所以随机变量的分布列是345 考点：古典
12、概型，离散型随机变量的分布列19. （本小题满分14分）已知函数的图象上。（1）求数列的通项公式；（2）令求数列（3）令证明：参考答案：（1） 1分 当；当，适合上式， 5分 （2）， ， 5分由得：=， 10分（3）证明：由 14分略20. 选修42：矩阵与变换已知二阶矩阵A，矩阵A属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为求矩阵A参考答案：由特征值、特征向量定义可知，A，即，得 5分同理可得解得因此矩阵A10分略21. （本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图.（1）求的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则样本数据的平均值为.）（3）从盒子中随机抽取个小球，其中重量在内的小球个数为，求的分布列和数学期望.参考答案：(1) 解：由题意，得， 1分解得. 2分（2）解：个样本小球重量的平均值为（克）. 3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克. 4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，则
