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1、福建省厦门市第二十四中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对于非零向量是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：A当时，向量为相反向量，所以；反之，当时，向量不一定为相反向量所以是“”的充分不必要条件选A2. 如图是一个算法程序框图，当输入的值为3时，输出的结果恰好是，则空白框处的关系式可以是（A） （B） （C） （D） 参考答案：B略3. 如图是为了求出满足的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入AA1000和n=n+1BA
2、1000和n=n+2CA1000和n=n+1DA1000和n=n+2参考答案：D由题意选择，则判定框内填，由因为选择偶数，所以矩形框内填，故选D.4. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则是A乙胜的概率 B乙不输的概率C甲胜的概率 D甲不输的概率参考答案：B5. 如图，已知四面体ABCD为正四面体，分别是AD，BC中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）.A. 1B. C. D. 2参考答案：A【分析】通过补体，在正方体内利用截面为平行四边形,有，进而利用基本不等式可得解.【详解】补
3、成正方体，如图.截面为平行四边形,可得，又 且 可得当且仅当时取等号，选A.【点睛】本题主要考查了线面的位置关系，截面问题，考查了空间想象力及基本不等式的应用，属于难题.6. 已知，则的值为（ ）A B C D参考答案：D7. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 参考答案：A本题可以充分利用选项的渐近线以及函数在一定的区域上的符号即可以判断，如：当当时，恒有,故排除选项D等等.解答：因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除C；当时，恒有，故排除D；时，故可排除B；故选A.说明：本题考查函数的图像.8. 在半径为2的圆内随机取一点M，则过点M的所有弦的长度都大于2的概率为()A
4、. B. C. D. 参考答案：A【分析】由勾股定理及几何概型中的面积型可得：点M在以O为圆心，为半径的圆的内部，所以过点M的所有弦的长度都大于2的概率为：，得解【详解】解：如图，要使过点M的所有弦都大于2，|OM|，所以点M在以O为圆心，为半径的圆的内部，所以过点M的所有弦的长度都大于2的概率为：，故选：A【点睛】本题考查了几何概型中的面积型，属中档题9. 已知函数，则的值为（ ）A9 B C-9 D参考答案：B10. 设，是非零向量，记与所成的角为，下列四个条件中，使成立的充要条件是（ ）A B CD 参考答案：B等价于非零向量与同向共线，故选B.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,
5、共28分11. 椭圆上的点到直线的最大距离是 参考答案：12. 计算： . 参考答案：略13. 对任意实数，若不等式恒成立，则实数的最小值为 参考答案：略14. 已知数列an的前n项和为Sn，且=，a2=5，则S6=参考答案：722【考点】数列递推式；数列的求和【分析】=，可得an+1+1=3（an+1），利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解： =，an+1+1=3（an+1），5+1=3（a1+1），解得a1=1数列an+1是等比数列，公比为3，首项为2an+1=23n1，解得an=23n11，则S6=6=722故答案为：722【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考
6、查了推理能力与计算能力，属于中档题15. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数 参考答案：16. （5分）已知正实数a，b满足=3，则（a+1）（b+2）的最小值是 参考答案：【考点】： 基本不等式不等式的解法及应用【分析】： 正实数a，b满足=3，可得，b+2a=3ab展开（a+1）（b+2）=ab+b+2a+2=4ab+2，即可得出解：正实数a，b满足=3，化为，当且仅当b=2a=时取等号b+2a=3ab（a+1）（b+2）=ab+b+2a+2=4ab+2故答案为：【点评】： 本题考查了基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题17. 某沿海四个城市A、B、C、D的位置
7、如图所示，其中ABC=60，BCD=135，AB=80nmile， BC=40+30 nmile，CD=250nmile现在有一艘轮船从A出发以50nmile/h的速度向D直线航行，60min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，则收到指令时该轮船到城市C的距离是 nmile参考答案：100【考点】HU：解三角形的实际应用【分析】求出AD，可得DAC=90，即可得出结论【解答】解：由题意，AC=50nmile，60min后，轮船到达D，AD=501=50nmile=sinACB=，cosACD=cos（135ACB）=，AD=350，cosDAC=0，DAC=90，CD=100，故答
8、案为100【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数（1）若函数，求函数的单调区间；（2）设直线为函数的图像上的一点处的切线，证明：在区间上存在唯一的，使得直线与曲线相切参考答案：解：（1） 2分，增区间为（0,1）和（1，+） 4分（2）切线方程为 6分设切于点，方程， 8分由可得，由（1）知，在区间上单调递增， 又，由零点存在性定理，知方程必在区间上有唯一的根，这个根就是，故在区间上存在唯一的，使得直线与曲线相切 12分略19. （12分）已知sin22sin2cosco
9、s21，(0，)，求sin、tan.参考答案：【解】 sin22sin2coscos214sin2cos22sincos22cos20即：cos2(2sin2sin1)0cos2(sin1)(2sin1)0又(0， )，cos20，sin10.故sin，tan.20. （14分）已知函数，其中常数满足。（1）若，判断函数的单调性；（2）若，求时折取值范围。参考答案：解： 当时，任意，则 ， ，函数在上是增函数。当时，同理，函数在上是减函数。 当时，则；当时，则。21. （本小题共13分）已知数列，（）求，；是否存在正整数，使得对任意的，有；设，问是否为有理数，说明理由参考答案：解：（）； （）
10、假设存在正整数，使得对任意的，有则存在无数个正整数，使得对任意的，有 设为其中最小的正整数若为奇数，设（），则与已知矛盾 若为偶数，设（），则，而从而而，与为其中最小的正整数矛盾综上，不存在正整数，使得对任意的，有 （）若为有理数，即为无限循环小数，则存在正整数，对任意的，且，有与（）同理，设为其中最小的正整数若为奇数，设（）， 当时，有与已知矛盾 若为偶数，设（），当时，有，而从而而，与为其中最小的正整数矛盾故不是有理数 13分22. 关于函数的对称性有如下结论：对于给定的函数y=f（x），xD，如果对于任意的xD都有f（a+x）+f（ax）=2b成立（a，b为常数），则函数f（x）关于点（
11、a，b）对称（1）用题设中的结论证明：函数f（x）=关于点（3，2）；（2）若函数f（x）既关于点（2，0）对称，又关于点（2，1）对称，且当x（2，6）时，f（x）=2x+3x，求：f（5）的值；当x（8k2，8k+2），kZ时，f（x）的表达式参考答案：【考点】抽象函数及其应用【分析】（1）根据题设中的结论证明即可，（2）由题意可得f（x+8）=f（x）2，代值计算即可，由f（x）=f（x8）2=f（x82）22=f（x83）23=f（x8k）2k，然后代值计算即可【解答】解：（1）f（x）=的定义域为x|x3，对任意x3有f（3x）+f（3x）=（2）+（2）=4，函数f（x）=关于点（
12、3，2）；（2）函数f（x）关于点（2，0）对称，f（2+x）+f（2x）=0，即f（x）+f（4x）=0，又关于点（2，1）对称，f（2+x）+f（2x）=2，即f（x）+f（4x）=2，f（4x）=2+f（4x），即f（x+8）=f（x）2，f（5）=f（3）+2=23+33+2=19，x（8k2，8k+2），x8k（2，2），4（x8k）（2，6），f（x）=f（x8）2=f（x82）22=f（x83）23=f（x8k）2k，又由f（t）=f（4t），f（x）=f（x8k）2k=f4（x8k）2k=24（x8k）+3（4（x8k）2k，即当x（8k2，8k+2），kZ时，f（x）=24x+8k+3x26k12
