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1、湖南省邵阳市第十二中学高三数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ） A. B. C. D.参考答案：D2. 某单位共有职工150 名，某中高级职称45 人，中级职称90 人，初级职称15 人，现采用分层抽样方法从中抽取容量为30 的样本，则各职称人数分别为A9，18，3 B10，15，5 C10，17，3 D9，16，5参考答案：A3. 已知全集为R，集合A=x|2x1，B=x|x23x+20，则A?RB=（）Ax|x0Bx|1x2Cx|0x1或x2Dx|0x1或
2、x2参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先求出集合AB，再求出B的补集，根据交集的定义即可求出【解答】解：全集为R，集合A=x|2x1=x|x0，B=x|x23x+20=x|1x2，?RB=x|x1或x2，A?RB=x|0x1或x2故选：C【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键4. 已知公差不为零的等差数列等于 A4 B5 C8 D10参考答案：A由得，即。所以，所以,选A.5. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，若BAC90,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于 ( ）A30 B45 C60 D 90参考答案：C6. 函数f
3、（x）=sin（x+）（其中|）的图象如图所示，为了得到y=sinx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点( )A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度参考答案：A考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：计算题分析：根据周期求出，再由五点法作图求出?，从而得到函数f（x）=sin2（x+），故把y=f（x）的图象向右平移个单位长度可得y=sinx的图象，从而得出结论解答：解：由题意可得 =，=2再由五点法作图可得 2+?=，?=，故函数f（x）=sin（x+?）=sin（2x+）=sin2（x+）故
4、把y=f（x）的图象向右平移个单位长度可得y=sinx的图象，故选A点评：本题主要考查由函数y=Asin（x+?）的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin（x+?）的图象变换，属于中档题7. 已知直线平行，则实数的值为（） A B C或 D 参考答案：A8. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限参考答案：A9. 如图可表示函数y=f（x）图象的是（）ABCD参考答案：D【考点】函数的概念及其构成要素【专题】函数的性质及应用【分析】利用函数的定义分别对四个图象进行判断【解答】解：由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变化x，有唯一的一个变量y与x对应则由定
5、义可知A，B，C中图象均不满足函数定义故选：D【点评】本题主要考查了函数的定义以及函数的应用要求了解，对于一对一，多对一是函数关系，一对多不是函数关系10. 的值为A B C D 参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为与，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为_参考答案：(1,1)【分析】联立两条曲线的极坐标方程，求得交点的极坐标，然后转化为直角坐标.【详解】由，解得，故，故交点的直角坐标为(1,1).故答案为(1,1)【点睛】本小题主要考查极坐标下两条曲线
6、的交点坐标的求法，考查极坐标和直角坐标互化，属于基础题.12. 已知变量x,y，满足，若目标函数仅在（4,2）处取得最大值，则a的取值范围是_。参考答案：答案：a1 13. 外接圆的半径为1，圆心为O，且，则的值是_.参考答案：314. 等差数列中，公差且，恰好是一个等比数列的前三项，那么此等比数列的公比等于 参考答案：415. 设满足不等式组，若恒成立，则实数的最大值是_.参考答案：16. 设，若/，则 参考答案：略17. 不等式 的解集是 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重
7、为65公斤用表示编号为的同学的体重，且前5位同学的体重如下：编号n12345体重xn6066626062（）求第6位同学的体重及这6位同学体重的标准差；（）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间中的概率参考答案：19. 已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形。（）求的方程；（）若直线，且和有且只有一个公共点， （）证明直线过定点，并求出定点坐标； （）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由参考答案：（）由题意知，设，则的中点为因为，由抛物线的定义可知，解得或（舍去）由
8、，解得所以抛物线的方程为.3（）（）由（）知，设因为，则，由得，故，故直线的斜率因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线的方程得，由题意，得设，则当时，可得直线的方程为，由，整理得，直线恒过点当时，直线的方程为，过点，所以直线过定点7（）由（）知直线过定点，所以。设直线的方程为，因为点在直线上故设，直线的方程为由于，可得，代入抛物线的方程得所以，可求得，所以点到直线的距离为=则的面积，当且仅当即时等号成立，所以的面积的最小值为1220. 已知函数f（x）=exaxa（其中aR，e是自然对数的底数，e=2.71828）（）当a=e时，求函数f（x）的极值；（）若f（x）0恒成立，求实数a的
9、取值范围；（）求证：对任意正整数n，都有参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 专题：计算题；证明题；函数的性质及应用；导数的综合应用分析：（） 当a=e时，f（x）=exexe，f（x）=exe，从而由导数的正负确定函数的单调性及极值；（）求导f（x）=exa，从而讨论确定函数的单调性，由函数的单调性确定函数的最值，从而化恒成立问题为最值问题；（）由（）知，当a=1时，f（x）0恒成立，从而可化出ln（x+1）x，令x=（nN*），从而得到，从而证明解答：解：（） 当a=e时，f（x）=exexe，f（x）=exe，当x1时，f（x）0
10、；当x1时，f（x）0所以函数f（x）在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，所以函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=e，函数f（x）无极大值（）由f（x）=exaxa，f（x）=exa，若a0，则f（x）0，函数f（x）单调递增，当x趋近于负无穷大时，f（x）趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，f（x）趋近于正无穷大，故函数f（x）存在唯一零点x0，当xx0时，f（x）0；当xx0时，f（x）0故a0不满足条件若a=0，f（x）=ex0恒成立，满足条件若a0，由f（x）=0，得x=lna，当xlna时，f（x）0；当xlna时，f（x）0，所以函数f（x）在（，lna）上单调递
11、减，在（lna，+）上单调递增，所以函数f（x）在x=lna处取得极小值f（lna）=a?lna，由f（lna）0得a?lna0，解得0a1综上，满足f（x）0恒成立时实数a的取值范围是（）证明：由（）知，当a=1时，f（x）0恒成立，所以f（x）=exx10恒成立，即exx+1，所以ln（x+1）x，令x=（nN*），得，则有ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+=11，所以，所以，即点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，难点在于证明不等式时函数的构造与化简，属于难题21. （本小题满分12分）已知椭圆，过点作圆的切线，直线恰好过椭圆C的右顶点与上顶点.()求椭圆C的标准方程；()若圆上的一点的切线交椭圆C于A,B两点，试确定的大小，并加以证明.参考答案：方法一：解:（）因为点在圆上， 所以直线， 又因为直线的斜率为，1分 所以直线的方程为： 令，可得，所以椭圆的右顶点坐标为；3分 再令，可得，所以椭圆的上顶点坐标为. 4分 所以，因此，椭圆的方程为： 6分 （）若直线的方程为：，则 此时，故； 若直线的方程为：，则， 此时，故. 猜想为定值 7分（写一种情形即可） 证明如下： 若直线的斜率存在，设， 则直线的方程为：整理可得：，8分 将代入椭圆方程可得， 整理得, 所以 . 9分 将代入椭圆方程可得：， 整理得， 所以.
