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1、山西省运城市中学东校高三数学理模拟试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 集合U=0,1,2,3,4,A=1,2,则 ( )A. 0,1,3,4 B. 1,2,3 C. 0,4 D. 0参考答案:C2. 若,则的值是( ) A. B. C. D.参考答案:B略3. 若如下框图所给的程序运行结果为,那么判断框中应填入的关于的条件是A B C D参考答案:D略4. 如图,在复平面内,点表示复数,则图中表示的共轭复数的点是( )A B. CD参考答案:B5. 由不等式确定的平面区域记为,不等式确定的平面区域记为,在中随机
2、取一点,则该点恰好在内的概率为( )A. B. C. D.参考答案:D6. 设函数,若曲线上存在(x0,y0),使得f(f(y0)=y0成立,则实数m的取值范围为()A0,e2e+1B0,e2+e1C0,e2+e+1D0,e2e1参考答案:D【考点】KE:曲线与方程【分析】求出y0的范围,证明f(y0)=y0,得出f(x)=x在1,e上有解,再分离参数,利用函数单调性求出m的范围【解答】解:1cosx1,的最大值为e,最小值为1,1y0e,显然f(x)=是增函数,(1)若f(y0)y0,则f(f(y0)f(y0)y0,与f(f(y0)=y0矛盾;(2)若f(y0)y0,则f(f(y0)f(y0
3、)y0,与f(f(y0)=y0矛盾;f(y0)=y0,y0为方程f(x)=x的解,即方程f(x)=x在1,e上有解,由f(x)=x得m=x2xlnx,令g(x)=x2xlnx,x1,e,则g(x)=2x1=,当x1,e时,g(x)0,g(x)在1,e上单调递增,gmin(x)=g(1)=0,gmax(x)=g(e)=e2e1,0me2e1故选D【点评】本题考查了函数零点与函数单调性的关系,函数单调性的判断与最值计算,属于中档题7. 函数的定义域是( ) A、 B、 C、 D、参考答案:D8. 设等比数列各项均为正数,且,则 ( ) 12 10 8 参考答案:B9. 已知点P是椭圆上的动点,F1
4、、F2为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,若M是F1PF2的角平分线上的一点,且的取值范围是 ( ) A(0,3) B() C(0,4) D(0,)参考答案:D10. 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的方程为,则原点O到直线l的距离是A. B. C. D.2参考答案:C直线l的方程为,则点O到直线l的距离二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不共线向量,满足,且,则与的夹角为参考答案:【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角【分析】设与的夹角为,利用两个向量垂直的性质,两个向量数量积的定义,求得cos的值,可得的值【解答】解:设与的夹角为,不共线向量,满足,且,则(0,),
5、(2)=2=2|?|cos=2cos=0,cos=,=,故答案为:12. 已知_.参考答案:8略13. 已知定义在R上的函数满足,当时,则 参考答案:4考点:周期性和对称性因为所以函数的周期为2所以故答案为:414. 已知x,y(0,+),则的最小值为参考答案:3考点: 基本不等式在最值问题中的应用 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用分析: 由可得x+y=3;化简=?+?=+,从而利用基本不等式求最值解答: 解:,x3=y;即x+y=3;故=?+?=+2=+=3;(当且仅当=,即x=1,y=2时,等号成立)故答案为:3点评: 本题考查了函数的性质的应用及基本不等式的应用,属于
6、中档题15. 已知实数满足约束条件,则的最小值是 .参考答案:略16. 执行如图所示的程序框图,输入N的值为2012,则输出S的值是 。 参考答案:2011略17. 的展开式中常数项为.(用数字表示)参考答案:【知识点】二项式定理=,4-2k=0,k=2 展开式中常数项为.【思路点拨】先求出通项再求常数。三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知椭圆的离心率为.()求椭圆C的方程;()设直线l过点且与椭圆C相交于A,B两点.过点A作直线的垂线,垂足为D.证明直线BD过x轴上的定点.参考答案:(1);(2)见解析.【分析】(1)由离心率列方程可求得
7、椭圆方程; (2)当直线AB的斜率不存在时,直线BD过点(2,0)当直线AB的斜率存在时,设直线AB为y=k(x-1),联立方程组,消去y整理得:(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0利用韦达定理、直线方程,结合已知条件求出直线BD过x轴上的定点【详解】(1)解:由题意可得,解得,所以椭圆C的方程为 (2)直线BD恒过x轴上的定点N(2,0)证明如下(a)当直线l斜率不存在时,直线l的方程为x=1,不妨设A(1,),B(1,),D(3,)此时,直线BD的方程为:y=(x-2),所以直线BD过点(2,0)(b)当直线l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB为y=k(x
8、-1),D(3,y1)由得:(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0所以x1+x2=,x1x2=(*)直线BD:y-y1=(x-3),只需证明直线BD过点(2,0)即可.令y=0,得x-3=,所以x=即证,即证.将(*)代入可得.所以直线BD过点(2,0)综上所述,直线BD恒过x轴上的定点(2,0)19. (本题满分12分)在数列中,(I)求的值;(II)证明:数列是等比数列,并求的通项公式;(III)求数列的前n项和.参考答案:(I)令,令,.-2分(II), -5分数列是首项为4,公比为2的等比数列,. -8分(III)数列的通项公式,.-12分20. 如图,圆O的直径AB=10,P是
9、AB延长线上一点,BP=2,割线PCD交圆O于点C,D,过点P做AP的垂线,交直线AC于点E,交直线AD于点F(1)求证:PEC=PDF;(2)求PE?PF的值参考答案:【考点】与圆有关的比例线段 【专题】选作题;立体几何【分析】(1)证明P、B、C、E四点共圆、A、B、C、D四点共圆,利用四点共圆的性质,即可证明:PEC=PDF;(2)证明D,C,E,F四点共圆,利用割线定理,即可求得PE?PF的值【解答】(1)证明:连结BC,AB是圆O的直径,ACB=APE=90,P、B、C、E四点共圆PEC=CBA又A、B、C、D四点共圆,CBA=PDF,PEC=PDF(2)解:PEC=PDF,F、E、
10、C、D四点共圆PE?PF=PC?PD=PA?PB=212=24【点评】本题考查圆的性质,考查四点共圆的判定,考查割线的性质,属于中档题21. 如图所示,四棱锥S-ABCD中,SA底面ABCD,BC=1,E为CD的中点.(1)求证:BC平面SAE;(2)求三棱锥S-BCE与四棱锥S-BEDA的体积比.参考答案:(1)证明:因为,所以,在ACD中,由余弦定理可得:解得:CD=4所以,所以ACD是直角三角形,又为的中点,所以又,所以ACE为等边三角形,所以,所以,又AE平面SAE,平面SAE,所以BC平面SAE.(2)解:因为平面,所以同为三棱锥与四棱锥的高.由(1)可得,所以.所以故:三棱锥与四棱
11、锥的体积比为1:4.22. (本小题共14分)在单调递增数列中,不等式对任意都成立.()求的取值范围;()判断数列能否为等比数列?说明理由;()设,求证:对任意的,.参考答案:()解:因为是单调递增数列,所以,.令,所以. 4分 ()证明:数列不能为等比数列.用反证法证明:假设数列是公比为的等比数列,.因为单调递增,所以.因为,都成立.所以, 因为,所以,使得当时,.因为.所以,当时,与矛盾,故假设不成立.9分()证明:观察: ,猜想:.用数学归纳法证明:(1)当时,成立;(2)假设当时,成立;当时,所以. 根据(1)(2)可知,对任意,都有,即.由已知得,.所以.所以当时,. 因为.所以对任意,.对任意,存在,使得,因为数列单调递增,所以,.因为,所以. 14分