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1、广东省肇庆市加美学校高三数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知平面向量，满足，则与的夹角为ABCD 参考答案：B2. 平面向量共线的充要条件是A方向相同 B 两向量中至少有一个为零向量 C D存在不为零的实数参考答案：D3. 已知函数，则函数f(x)的所有零点之和等于A.0 B.3C.5D.7参考答案：D，由得到或者.当时，；当时，；所以的所有零点之和等于，选D.另解：可以将零点问题转化为函数图像的交点问题，令，则，在同一坐标系中画出函数和的图像，如图所示，两个函数图像在区间有7个交点，所以有7个零
2、点，其中3个零点是，另外四个零点为图中的，由对称性可知，所以的所有零点之和等于，选D.4. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的得值等于（ ） 参考答案：B5. 已知正项等比数列中，其前项和为，若，则（ ）A B C D参考答案：根据条件，解得，故选D.考点：等比数列6. 已知A(3,0),B(0,4),若圆M:上有且仅有两点C使面积等于,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 参考答案：D7. 下列关于命题的说法错误的是 ( )A命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；B“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；C若命题：，则：； D命题“ ”是真命题参考答案：D【知识
3、点】命题及其关系A2因为命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x2-3x+20”，所以A正确；由a=2能得到函数f（x）=logax在区间（0，+）上为增函数，反之，函数f（x）=logax在区间（0，+）上为增函数，a不一定大于2，所以“a=2”是“函数f（x）=logax在区间（0，+）上为增函数”的充分不必要条件，所以选项B正确；命题P：nN，2n1000，的否定为P：nN，2n1000，所以C正确；因为当x0时恒有2x3x，所以命题“x（-，0），2x3x”为假命题，所以D不正确【思路点拨】选项A是写一个命题的逆否命题，只要把原命题的结论否定当条件，条件否定当结
4、论即可；选项B看由a=2能否得到函数f（x）=logax在区间（0，+）上为增函数，反之又是否成立；选项C、D是写出特称命题的否定，注意其否定全称命题的格式8. 已知全集，则A. B. C. 或 D. 参考答案：A略9. 函数f（x）=有且只有一个零点时，a的取值范围是（）Aa0B0aCa1Da0或a1参考答案：D【考点】函数的零点【专题】函数的性质及应用【分析】易知1是函数f（x）=的零点，故函数f（x）在（，0上没有零点，从而转化为a2x，或a2x在（，0上恒成立，再转化为最值问题即可【解答】解：f（1）=lg1=0，当x0时，函数f（x）没有零点，故2x+a0或2x+a0在（，0上恒成立
5、，即a2x，或a2x在（，0上恒成立，故a1或a0；故选D【点评】本题考查了分段函数的应用，函数零点与方程的关系应用及恒成立问题，属于基础题10. 中,内角,所对的边分别是,已知,则（）ABCD参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴且焦点在x轴上的双曲线C的一条渐近线倾斜角为，则双曲线C的离心率为 参考答案：212. (2013新课标)已知alog36，blog510，clog714，则a、b、c的大小关系为_参考答案：abc13. 如图，在菱形中，是内部任意一点，与交于点，则参考答案：略14. 已知是定义域为的偶函数，当
6、时，那么，不等式的解集是 .参考答案：考点：1.函数的奇偶性；2.解绝对值不等式.15. 若不等式对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是 。参考答案：16. 已知数列an满足，则数列an?bn满足对任意的nN+，都有b1an+b2an1+bna1=，则数列an?bn的前n项和Tn=参考答案：【考点】8E：数列的求和【分析】对任意的nN+，都有b1an+b2an1+bna1=，求得n=1的情况，当n2时，将n换为n1，相减求得bn=n，可得an?bn=n?2n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和【解答】解：数列an满足，由b1an+b2an1+bna
7、1=2nn1，令n=1，则b1a1=21，解得b1=b1an+b2an1+bna1=2nn1，当n2时，b1an1+b2an2+bn2a2+bn1a1=2n1（n1）1，将上式两边同乘公比2得，b1an+b2an1+bn1a2=2nn1可得：bna1=n，（n2），由a1=2，可得bn=n，对n=1也成立，则an?bn=n?2n，Tn=（1?2+2?22+3?23+n?2n），可得2Tn=（1?22+2?23+3?24+n?2n+1），两式相减可得Tn=（2+22+23+24+2nn?2n+1）=（n?2n+1），化简可得Tn=故答案为：17. 若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为
8、参考答案：2【考点】简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数以及可行域，判断最值点的位置，然后求解最小值即可【解答】解：因为线性约束条件所决定的可行域为非封闭区域且目标函数为线性的，最值一定在边界点处取得分别将点代入目标函数，求得：，所以最小值为2故答案为：2三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 三棱锥ABCD中，E是BC的中点，AB=AD，BDDC（I）求证：AEBD；（II）若DB=2DC=AB=2，且二面角ABDC为60，求AD与面BCD所成角的正弦值参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；LO：空间中直线与直线之间的位置
9、关系【分析】（I）取BD的中点F，连EF，AF，推导出FEDC从而BDFE再求出BDAF，从而BD面AFE，由此能证明BDFE（II）由BDAF，得AFE即为二面角ABDC的平面角，由此能求出AD与面BCD所成角的正弦值【解答】证明：（I）如图，取BD的中点F，连EF，AF，E为BC中点，F为BD中点，FEDC又BDDC，BDFEAB=ADBDAF又AFFE=F，AF，FE?面AFE，BD面AFE，AE?面AFE，AEBD，BDFE解：（II）由（I）知BDAF，AFE即为二面角ABDC的平面角 AFE=60AB=AD=2，ABD为等腰直角三角形，故，又FE=，AE2=AF2+FE22AF?F
10、E?cosAFE=1+=，即AE=，AE2+FE2=1=AF2，AEFE，又由（1）知BDAE，且BDFE=F，BD?面BDC，FE?面BDC，AE平面BDC，ADE就是AD与面BCD所成角，在RtAED中，AE=，AD=2，AD与面BCD所成角的正弦值sin19. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，分别为棱，的中点，点在棱上，且（1）求证：；（2）试在线段上确定一点，使得平面，并给出证明 参考答案：（1）在直三棱柱中， 平面，又，平面，所以，又， ，平面，所以平面，又平面，所以，而，平面， 所以平面，又平面，所以； （2）当时，平面，下证之： 连结，在中，由，得，又在平面中，易得，所以
11、， 又平面，平面，所以平面 20. 已知关于x的方程有两个不同的实数根x1、x2. （）求实数a的取值范围；（）求证：.参考答案：（），.令，则，令，解得，令，解得，则函数在上单调递增，在上单调递减，；又当时，当时，画出函数的图象.要使函数的图象与有两个不同的交点，则，即实数的取值范围为.（）由（）知，不妨设，则，.要证，只需证.，且函数在上单调递减，只需证，又，只需证，即证，即证对恒成立.令，则，恒成立，则函数在上单调递减，.综上所述，.21. 已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos2+32sin2=12，且曲线C的
12、左焦点F在直线l上（）若直线l与曲线C交于A、B两点求|FA|?|FB|的值；（）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即曲线C的左焦点F的坐标为F（2，0）F（2，0）在直线l上，直线l的参数方程为（t为参数）将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t22t2=0，|FA|?|FB|=|t1t2|=2（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0y2），则x2+3y2=12，x=P=4x+4y=4+4y令f（y）=4+4y，则f（y）=令f（y）=0得y=1，当0y1时，f（y）0，当1y2时，f（y）0当y=1时，f（y）取得最大值16P的最大值为1622. 已知函数(1)求函数的最小值;(2)若0对任意的恒成立,求实数的值;(3)在(2)的条件下,证明:参考答案：(3)由(2)知,对任意实数均有,即. 令 ,则. 略
