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1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度1.6 无旋场与无散场
2、无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理2第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1. 1. 标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：矢量的单位矢量矢量的单位矢量：标量标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。矢量的代数表示矢量的代数表示：1.1 矢量代数矢量代数矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的
3、字母表示。母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。 矢量的几何表示矢量的几何表示常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。 3第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示zxy4第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写
4、编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版（1）矢量的加减法矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线邻边的平行四边形的对角线, ,如图所示。如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律2. 矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法矢量的减法矢量的减法 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律结合律交换律交换律5第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社
5、高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版（2 2）标量乘矢量标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律q矢量矢量 与与 的夹角的夹角6第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）qsinABq矢量矢量 与与 的叉积的叉积用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为若若 ，则，则若若 ，则，则7第第1 1章章 矢量分析
6、矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版（5 5）矢量的混合运算矢量的混合运算 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积8第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。确定。1.2 三种常用的正交曲线坐标系三
7、种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：直角直角坐坐标系、圆柱坐标系和球坐标系标系、圆柱坐标系和球坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称；描述坐标轴的量称为为坐标变量坐标变量。9第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社
8、出版出版1. 直角坐标系直角坐标系 位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量体积元体积元坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量 点点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）（平面） o x y z0xx=（平面）（平面）0zz=（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 x yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydx10第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版2. 圆柱坐标系圆柱坐标系坐标变量坐标变量坐标
9、单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系圆柱坐标系11第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版3. 球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量12第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁
10、场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版4. 坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系 直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系球坐标系直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系ofxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系foqrz单位圆单位圆 柱坐标系与求坐标系之间柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系qq13第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写
11、编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1.3 标量场的梯度标量场的梯度q如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。 例如例如：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。 例如例如：流速场：流速场、重力场重力场、电场、磁场等。、电场、磁场等。q如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为： 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称
12、在确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个该区域上定义了一个场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：14第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1.1.标量场的等值面标量场的等值面标量场的等值线标量场的等值线( (面面) )等值面等值面: : 标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在
13、空 间形成的曲面。间形成的曲面。等值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。 等值面的特点等值面的特点：意义意义: : 形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。15第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版
14、社 出版出版2. 方向导数方向导数意义意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。概念概念： u(M)沿沿 方向增加；方向增加； u(M)沿沿 方向减小；方向减小； u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。 M0M方向导数的概念方向导数的概念 特点特点：方向导数既与点：方向导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。问题问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？ 的方向余弦。的方向余弦。 式中式中： 16第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写
15、高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版梯度的表达式梯度的表达式：圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系 3. 标量场的梯度标量场的梯度（ 或或 ）意义意义：描述标量描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向17第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版标量场的梯度是矢量场，它在空间某标量场的梯
16、度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度在该方向上的投影。梯度的性质梯度的性质：梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）18第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像
17、电子音像出版社出版社 出版出版 解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为 例例1.2.1 设设一一标标量量函函数数 (x,y,z) = x2y2z 描描述述了了空空间间标标量场。试求：量场。试求： (1) 该该函函数数 在在点点P(1,1,1)处处的的梯梯度度，以以及及表表示示该该梯梯度度方方向向的的单位矢量。单位矢量。 (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方方向向的的方方向向导导数数，并并以以点点P(1,1,1)处处的的方方向向导导数数值值与与该该点点的的梯梯度度值作以比较，得出相应结论。值作以比较，得出相应结论。19第第1 1章章 矢量分析矢
18、量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 (2) 由由方方向向导导数数与与梯梯度度之之间间的的关关系系式式可可知知，沿沿el方方向向的的方方向向导数为导数为对于给定的对于给定的P P点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为20第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版而该点的梯度值为而该点的
19、梯度值为 显显然然，梯梯度度 描描述述了了P P点点处处标标量量函函数数 的的最最大大变变化化率率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。21第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1. 矢量线矢量线 意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。矢量线方程矢量线方程：概念概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代
20、表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线OM 22第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版2. 矢量场的通量矢量场的通量 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 通量的概念通量的概念其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；穿过面积元穿过面积元 的通量。的通量。 如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面是闭合
21、的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是面积元矢量面积元矢量23第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出有净的矢有净的矢量线进入量线进入进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通
22、建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义24第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版3. 矢量场的散度矢量场的散度定义：流出单位体积元封闭面的通量定义：流出单位体积元封闭面的通量25第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版直角坐标系下散度表
23、达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 即流出即流出 不失一般性，令包围不失一般性，令包围P点的体积元点的体积元 V 为一直平行六面体，如图所示。则为一直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzDxDyDP和和两面元的通量为：两面元的通量为：26第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版于是根据定义求得散度为：于是根据定义求得散度为： 同理，可计算出应流出另两组侧面的通量，最后得：同理，可计算出应流出另两组侧面的通量，最后得：2
24、7第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：28第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版4. 散度定理散度定理体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 通量与散度的关系：通量与散度的关系：29第第1 1章章
25、 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 1. 矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 30第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版磁场的环流与电流的关系：磁场的环流与电流的关系： 磁感应线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感应
26、线磁感应线31第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版环流的定义：环流的定义：32第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版2. 矢量场的旋度矢量场的旋度（ ） （1）环流面密度）环流面密度称为称为矢量场在矢量场在点点M 处沿方向处沿方向 的的环流面密度环流面密度。 单位面元单位面元边界闭合曲线的环流：边界闭合曲线的环流
27、：特点特点：其值其值与与点点M 处的方向有关。处的方向有关。33第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版任一取向面元的环流面密度，是该点最大任一取向面元的环流面密度，是该点最大环流面密度的投影：环流面密度的投影：（2）矢量场的旋度）矢量场的旋度34第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版而而 推导推导 的示意图如图所示
28、的示意图如图所示。oyDz DyCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 直角坐标系中直角坐标系中 、 、 的表达式的表达式35第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版于是于是 同理可得同理可得故得故得36第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版旋度的计算公式旋度的计算公式: : 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱
29、坐标系 球坐标系球坐标系37第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版旋度的有关公式旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零38第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版3. 斯托克斯定理斯托克斯定理曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果
30、抵消相等结果抵消 环流与旋度的关系：环流与旋度的关系：39第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版4. 散度和旋度的区别散度和旋度的区别 40第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版习习 题题一、关于矢量代数一、关于矢量代数1.3; 1.4; 1.6; 1.7; 1.8; 1.9二、关于矢量分析二、关于矢量分析 1.1
31、2; 1.13; 1.15;1.16; 1.18; 1.19; 1.20; 1.22; 1.2341第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1. 矢量场的源矢量场的源散度源散度源旋度源旋度源1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场42第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版2. 矢量场按源的分类矢量场按源的分类（1）无旋场
32、无旋场性质性质： ，线积分与路径无关，是保守场。，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的仅有散度源而无旋度源的矢量场，矢量场，无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为例如：静电场例如：静电场43第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版（2）无散场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即性质性质：无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，恒定磁场4
33、4第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版（3）无旋、无散场无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分45第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社
34、出版出版1.7 拉普拉斯运算拉普拉斯运算1. 拉普拉斯运算拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算概念概念： 拉普拉斯算符拉普拉斯算符直角坐标系直角坐标系计算公式算公式：圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系46第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理: :在无限空间中，当在无限空间中，当矢量场的源分布矢量场的源分布在有限区在有限区域时，该矢量场可表为：域时，该矢量场可表为：式中：式中： 亥姆霍兹定理表明：在无界空间区亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。域，矢量场可由其散度及旋度确定。1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理47第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版有有界界区域区域 在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。48
