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1、20212022学年高二第二学期期中考试数学试题一、单项选择题:共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上1. 按序给出两类元素,类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸,类中的元素排序为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥在两类中各取1个元素组成1个排列,则类中选取的元素排在首位,类中选取的元素排在末位的排列的个数为( )A. 240B. 200C. 120D. 60【答案】C【解析】【分析】根据乘法计数原理即可求解.【详解】解:从类中取1个元素有10种取法,从类中取1个元素有12种
2、取法,则共有种取法.故选:C.2. 若,则( )A. 4B. C. 8D. 【答案】C【解析】【分析】由数量积的定义计算【详解】故选:C3. 已知A与B是两个事件,P(B),P(AB),则P(A|B)等于( )A. B. C D. 【答案】D【解析】【分析】根据条件概率公式可直接求得.【详解】由条件概率的计算公式,可得P(A|B).故选:D4. 从2名教师和5名学生中,选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师,则不同的选取方案的种数是( )A. 20B. 55C. 30D. 25【答案】D【解析】【分析】根据题意,用间接法分析:先计算从2名教师和5名学生中选出3人的
3、选法,再计算其中“入选的3人没有教师”的选法数目,分析可得答案【详解】解:根据题意,从2名教师和5名学生中,选出3人,有种选法,若入选的3人没有教师,即全部为学生的选法有种,则有种不同的选取方案,故选:D5. 已知空间中非零向量,且,则的值为( )A. B. 97C. D. 61【答案】C【解析】【分析】根据空间向量数量积的定义可得,进而求出的值.【详解】,故选:C.6. 二项式的展开式中第3项的二项式系数为( )A. B. 56C. D. 28【答案】D【解析】【分析】二项式展开式第k+1项的二项式系数为,进而得到答案.【详解】二项式展开式第三项的二项式系数为.故选:D.7. 在三棱锥中,、
4、两两垂直,如图,建立空间直角坐标系,则下列向量中是平面的法向量的是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设平面的一个法向量为,利用,求出、的值,可得出向量的坐标,然后选出与共线的向量坐标即可.【详解】,设平面的一个法向量为,由则,解得,又,因此,平面的一个法向量为.故选:A.【点睛】本题考查平面法向量的计算,熟悉法向量的计算方法是解题的关键,考查计算能力,属于基础题.8. 在空间直角坐标系中,定义:平面的一般方程为(,且A,B,C不同时为零),点到平面的距离,则在底面边长与高都为2的正四棱锥中,底面中心O到侧面的距离d等于( )A. B. C. 2D. 5【答案】B【解析】【分
5、析】欲求底面中心到侧面的距离,先利用建立空间直角坐标系求出点A,B,P的坐标,及侧面的方程,最后利用所给公式计算即可【详解】以底面中心为原点,建立空间直角坐标系,如图所示:则,设平面的方程为,将点A,B,P的坐标代入计算得,所以方程可化为,即,所以故选:B.【点睛】本小题主要考查点、线、面间的距离计算、空间直角坐标系的应用、空间直角坐标系中点到平面的距离等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题二、多项选择题:共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分,将正确选项涂在答题卡9. 若
6、,则正整数x的值是( )A. 1B. 4C. 6D. 8【答案】AC【解析】【分析】由组合数的性质,直接计算结果.【详解】由组合数的性质可知或,解得:或.故选:AC10. 对于,下列排列组合数结论正确的是( )A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】对于A、D:分别计算左右两侧,即可判断是否成立;对于B:由组合数的性质直接判断;对于C:由直接判断;【详解】对于A:,,所以.故A正确;对于B:由组合数的性质直接得到.故B正确;对于C:因为,所以.故C错误;对于D:,而,所以.故D错误.故选:AB11. 给出下列命题,其中正确的有( )A. 空间任意三个向量都可以作为一个基底B. 已知
7、向量,则,与任何向量都不能构成空间的一个基底C. ,是空间中的四个点,若,不能构成空间的一个基底,那么,共面D. 已知是空间的一个基底,若,则也是空间的一个基底【答案】BCD【解析】【分析】作为空间中基底的性质,结合各选项的描述判断正误即可.【详解】A:空间中共面的三个向量不能作为基底,故错误;B:向量,即,可平移到一条直线上,它们与其它任何向量都会共面,故不能作为基底,正确;C:,不能构成空间的一个基底,即它们共面,则,共面,正确;D:是空间的一个基底,即它们不共面,由即共面,故与不共面,则是空间的一个基底,正确.故选:BCD12. 甲箱中有个白球和个黑球,乙箱中有2个白球和个黑球.先从甲箱
8、中随机取出一球放入乙箱中,分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球,以表示从乙箱中取出的球是黑球的事件,则下列结论正确的是( )A. 两两互斥B. C. 事件与事件相互独立D. 【答案】AD【解析】【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识,逐一分析选项,即可得答案.【详解】因为每次取一球,所以是两两互斥的事件,故A项正确;因为,故B项错误;又,所以,故D项正确.从甲箱中取出黑球,放入乙箱中,则乙箱中黑球变为5个,取出黑球概率发生变化,所以事件B与事件不相互独立,故C项错误.故选:AD三、填空题:共4小题,每小题5分,共20分请把答案直接填写在答题卡相应位
9、置上13. 若的展开式中第4项的系数是160,则_.【答案】1【解析】【分析】根据给定的二项式直接求出第4项,结合已知系数计算作答.【详解】的展开式中的第4项为,依题意,解得,所以.故答案为:114. 已知,且,则向量与的夹角为_【答案】【解析】【分析】利用空间向量数量积的坐标运算求出的值,可求得,结合的取值范围可求得的值.【详解】由已知条件可得,解得,所以,因此,.故答案为:.15. 已知,若,三向量共面,则实数等于_.【答案】【解析】【分析】依题意设,列方程组能求出结果【详解】解:,4,2,且,三向量共面,设,2,解得,故答案为:16. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物
10、“雪容融”,有着可爱的外表和丰富的寓意,深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上,要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列,则不同的排列方法种数为_.(用数字作答)【答案】144【解析】【分析】根据间隔排列知两端均为“冰墩墩”,可以先排【详解】先排“冰墩墩”中间有三个空,再排“雪容融”,则.故答案为:144.四、解答题:共6小题,共70分请在答题卡指定区域内作答,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. 用0,1,2,3,9十个数字可组成多少个不同的(1)三位数?(2)无重复数字的三位数?(3)小于500且没有重复数字的自然
11、数?【答案】(1)900 (2)648 (3)379【解析】【分析】(1)根据分步乘法计数原理计算出正确答案.(2)根据分步乘法计数原理计算出正确答案.(3)根据分类加法、分步乘法计数原理计算出正确答案.【小问1详解】由于0不能在百位,故百位上数字有9种选法,十位与个位上的数字均有10种选法所以不同的三位数共有个【小问2详解】百位上的数字有9种选法,十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法,个位上的数字应从剩余8个数字中选取,所以共有个无重复数字的三位数【小问3详解】满足条件的一位自然数有10个,两位自然数有个,三位自然数有个,由分类加法计数原理知共有个小于500且无重复数字的自然数18.
12、已知空间三点,设,(1)求和夹角余弦值;(2)设,求的坐标【答案】(1). (2)或.【解析】【分析】(1)利用空间向量的坐标表示求、的坐标,再由向量夹角的坐标表示求和夹角的余弦值;(2)由向量平行有且,写出关于的坐标,再由空间向量模的坐标表示列方程求参数,即可知的坐标【小问1详解】由题设,.【小问2详解】由题设,由,即且,则,即,或.19. 已知,求:(1)的值;(2)及的值;(3)各项二项式系数和.【答案】(1);(2),;(3).【解析】【分析】令,利用赋值法可得:(1);(2),;(3)各项二项式的系数和为.进而可得解.【详解】令.(1);(2)由赋值法可得,所以,;(3)该二项式展开
13、式中各项系数和为.【点睛】本题考查利用赋值法求解各项系数和以及奇数项、偶数项的系数和、二项式系数和,考查计算能力,属于中等题.20. 某机构对某品牌机电产品进行了质量调查,下面是消费者关于质量投诉的数据:擦伤凹痕外观合计保质期内保质期后合计(1)如果该品牌机电产品收到一个消费者投诉,那么投诉的原因不是凹痕的概率是多少?(2)如果该品牌机电产品收到一个消费者投诉,且投诉发生在保质期内,那么投诉的原因是产品外观的概率是多少?(3)已知投诉发生在保质期后,投诉的原因是产品外观的概率是多少?(4)若事件:投诉的原因是产品外观,事件:投诉发生在保质期内,则和是独立事件吗?【答案】(1) (2) (3)
14、(4)不是相互独立事件.【解析】【分析】(1)根据条件概率公式直接计算;(2)根据条件概率公式直接计算;(3)根据条件概率公式直接计算;(4)由独立事件概率乘法公式直接判断.小问1详解】解:由已知得投诉的原因不是凹痕的概率为;【小问2详解】解:由已知得投诉发生在保质期内,投诉的原因是产品外观的概率为;【小问3详解】解:投诉发生在保质期后,投诉的原因是产品外观的概率为;【小问4详解】解:由已知得,所以不相互独立.21. 三棱柱中,分别是,上的点,且,.设,.(1)试用,表示向量;(2)若,求的长.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据题意,结合空间向量的加减法与数乘运算,即可求解;(2)根据题意,结合空间向量数量积的求法,求出,即可求解.【小问1详解】由题图知,因为,所以,故.【小问2详解】根据题意,由