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1、2021学年高三第二学期教学质量检测数学试卷考生注意:1答题前,务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚,并贴好条形码2解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写,超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分3本试卷共有21道试题,满分150分,考试时间120分钟一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第16题每题4分,第712题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1. 设集合,则_【答案】【解析】【分析】先求出集合A,再根据交集的定义即可求得答案.【详解】由题意,所以.故答案为:.2. 已知四个数,的平均数为,则这四个数的中位数是_【答案】3【解析】【分析】根据平均
2、数的公式求得,再分析中位数即可【详解】由题意,解得,故中位数为故答案为:33. 已知复数满足:(为虚数单位),则_【答案】1【解析】【分析】根据复数除法运算可得,结合共轭复数概念得,再由复数虚部的概念理解可得结果【详解】,则故答案为:14. 已知实数满足,则的最小值为_【答案】【解析】【分析】画出可行域,再根据直线的截距与负相关求解最值即可【详解】画出可行域,因为直线的截距与负相关,故取得最小值时,过的交点,此时故答案:5. 已知随机事件A、互相独立,且,则_【答案】0.42#【解析】【分析】根据对立事件的概率公式和相互独立事件的概率乘法公式可得.【详解】因为,所以,所以.故答案为:0.426
3、. 已知,若,则_【答案】2【解析】【分析】根据空间向量的线性运算,结合数量积的坐标运算求解即可【详解】因为,故,即,故,故故答案为:27. 已知等比数列的公比为2,前项和为,则_【答案】2【解析】【分析】根据等比数列的通项公式,求和公式求解,再求极限即可【详解】因为,故故答案为:28. 将编号为,的个小球放入个不同的盒子中,每个盒子不空,若放在同一盒子里的个小球编号不相邻,则共有_种不同的放法【答案】18【解析】【分析】先把4个小球分为一组,其中2个不连号小球的种类有,为一组,再全排列即可,【详解】解:先把4个小球分为一组,其中2个不连号小球的种类有,为一组,分组后分配到三个不同的盒子里,故
4、共有种不同的放法;故答案为:189. 曲线的焦点坐标为_【答案】【解析】【分析】根据消去参数,将参数方程化为普通方程,即可求出焦点坐标;【详解】解:因为,又曲线,所以,即,所以,即,所以,即曲线表示焦点在轴上的抛物线,且焦点为;故答案为:10. 已知函数满足:,则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】根据题意可知为奇函数,利用分离常数得在上单调递增,结合奇函数与单调性得关系可得在上单调递增,再解得,即可判断解集【详解】根据题意可得,且为奇函数当时,则在上单调递增在上单调递增则,即,解得即的解集为故答案为:11. 已知双曲线的左、右焦点分别为,过且斜率为的直线与双曲线的左支交于点 若,则双曲线
5、的渐近线方程为_【答案】【解析】【分析】根据向量的线性运算可得,再根据焦点三角形中的关系可得,再根据等腰三角形的性质可列式求得离心率,进而求得渐近线的方程.【详解】因为,故,即,故,根据双曲线的定义有,故,又直线斜率为,故,所以,根据等腰三角形的性质有,即,解得,故.故双曲线的渐近线方程为故答案为:12. 已知数列满足:对任意,都有, 设数列的前项和为,若,则的最大值为_【答案】【解析】【分析】先说明中不可能存在相邻两项为非负数,可得当时,则,当时,则,由此可求得答案.【详解】假设中存在相邻两项 为非负数,则,若,则,与条件矛盾;若,则,与条件矛盾,故中不可能存在相邻两项为非负数,当时,则,则
6、根据得,故,当时,则,则根据得,故,所以总成立,又当n为奇数时, ,所以的奇偶性不同,则,当n为偶数时,故当k奇数时, ,此时考查数列:符合题意,此时的最大值为0;故当k为偶数时, ,此时考查数列:符合题意,此时的最大值为 ,故的最大值为 ,故答案为:【点睛】本题考查了数列的和的最大值问题,解得的关键是根据题意弄清数列的特征,明确其相邻两项之间的关系.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑13. 是方程组有唯一解的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【
7、答案】C【解析】【分析】根据行列式运算法则及直线平行的等价条件即可判断答案.【详解】由题意,直线与直线不平行有唯一解.故选:C.14. 如图,已知分别是正方体所在棱的中点,则下列直线中与直线相交的是( )A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线【答案】A【解析】【分析】通过空间想象直接可得.【详解】如图,易知,所以,且,所以为梯形,故与EF相交,A正确;因为,所以,故B错误;因为平面CDH平面EFNL,平面CDH,平面EFNL,所以直线CD与直线EF无公共点,故C错误;因为平面ADF,平面,故AD与EF异面,D错误.故选:A15. 若函数存在反函数,则常数a的取值范围为()A. (,1B
8、. 1,2C. 2,+)D. (,12,+)【答案】D【解析】【分析】依题意可得f(x)在0,1上单调,分两种情况讨论,参变分离,结合指数函数的性质能求出常数a的取值范围【详解】解:函数存在反函数函数在0,1上单调若单调递增,即,则在x0,1上恒成立,即在上恒成立在0,1上单调递增a1若单调递减,即,则在上恒成立即在上恒成立在上单调递增综上,常数a的取值范围为故选:D16. 已知函数满足: 若函数在区间上单调,且满足,则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简,结合已知可求解析式,然后由可知等于函数图象对称中心横坐标,求出函数对称中心可得.【详解】,
9、因为,所以当时,取得最大值,即所以,即因为,所以的中点是函数的对称中心,由,得所以,所以易知,当时取得最小值.故选:C三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17. 已知圆锥的顶点为,底面圆心为,母线的长为(1)若圆锥的侧面积为,求圆锥的体积(2)是底面圆周上的两个点, 为线段的中点,若圆锥的底面半径为2,求直线与平面所成角的大小【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据圆锥的侧面积公式求出底面半径,即可求出圆锥的高,再根据圆锥的体积公式计算可得;(2)设的中点为,连接、,即可得到,再由线面垂直的性质得到,从而得到平面,即是直线与平面所成角
10、,再由锐角三角函数计算可得【小问1详解】解:设圆锥的底面半径为,侧面母线长为,圆锥的高为,则, 因为,所以, 所以,所以圆锥的体积【小问2详解】解:设的中点为,连接、,则,因为,所以, 因为底面,底面,所以,由,平面,所以平面,所以即是直线与平面所成角 因为圆锥的底面半径为2,母线长为,所以高,所以, 因为,所以,所以即直线与平面所成角为18. 在中,角的对边分别为(1)若,求(2)若, 的面积,求外接圆半径的最小值【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据正弦定理与余弦定理化简即可(2)根据三角形的面积公式可得,再根据基本不等式可得,再根据正弦定理求解即可小问1详解】因为,由正弦定理,
11、所以,因为,所以【小问2详解】由已知,所以, 所以 因为所以(当时取等号) 所以所以的最小值为(当时取得)19. 甲、乙两人同时分别入职两家公司,两家公司的基础工资标准分别为:公司第一年月基础工资数为3700元,以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元;公司第一年月基础工资数为4000元,以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量(精确到1元)(2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元,记,讨论数列的单调性,指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资,并说明理由【答案】(1)甲的基础工资收入总量元;乙的
12、基础工资收入总量元 (2)单调性见解析;从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资;理由见解析【解析】【分析】(1)易得甲的工资满足等差数列,乙的工资满足等比数列,再根据等差等比数列的求和公式求解即可(2)根据题意可得,再求解分析的单调性,并计算时的取值范围即可【小问1详解】甲的基础工资收入总量元乙的基础工资收入总量元【小问2详解】,设,即,解得所以当时,递增,当时,递减又当,即,解得,所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资 20. 已知分别为椭圆的上、下顶点,是椭圆的右焦点,是椭圆上异于的点(1)若,求椭圆的标准方程(2)设直线与轴交于点,与直线交于点,与直线交于点,
13、求证:的值仅与有关(3)如图,在四边形中,若四边形面积S的最大值为,求的值【答案】(1) (2)证明见解析 (3)【解析】【分析】(1)根据已知判断形状,然后可得;(2)设,表示出直线、的方程,然后求Q、R的坐标,直接表示出所求可证;(3)设,根据已知列方程求解可得之间关系,表示出面积,结合已知可得.小问1详解】因为,所以是等边三角形,因为,所以,得椭圆的标准方程为【小问2详解】设,因为,所以直线、的方程分别为,所以,又所以,所以的值仅与有关【小问3详解】设,因为,所以,两式相减得,带回原式得,因为,所以,因为的最大值为 ,所以 ,得21. 已知函数的定义域为,若存在常数,使得对任意,都有,则称函数具有性质(1)若函数具有性质,求的值(2)设,若,求证:存在常数,使得具有性质(3)若函数具有性质,且的图像是一条连续不断的曲线,求证:函数在上存在零点【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析【解析】【分析】(1)对任意,都有,代入和即可得出答案;(2)设,利用零点存在性定理即可证得结论;(3)先转化为,然后令得,分情况利用零点存在性定理证得结论.【小问1详解】函数具有性质,所以对任意,都有,令,得