河北省石家庄市示范性高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析

河北省石家庄市示范性高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是(     ) A．36π B．9π C．π D．π 参考答案： C 考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，求出底面外接圆半径和棱锥的高，进而利用勾股定理，求出其外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案． 解答： 解：∵俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形， 故底面外接圆半径r=， 由主视图中棱锥的高h=1， 故棱锥的外接球半径R满足：R==， 故该几何体外接球的体积V==π， 故选：C 点评：解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，进而求出外接球半径，是解答的关键． 2. 命题：“至少有一个点在函数的图像上”的否定是（   ） A．至少有一个点在函数的图像上  B．至少有一个点不在函数的图像上 C．所有点都在函数的图像上      D．所有点都不在函数的图像上 参考答案： D 3. 若函数的图象在处的切线与圆相离，则与圆C的位置关系是  A. 在圆内        B. 在圆上    C. 在圆外       D.不确定，与的取值有关 参考答案： A 略 4. 设抛物线的焦点为F，准线为l，点M在C上，点N在l上，且，若，则的值为（   ） A. B.2 C. D.3 参考答案： D 过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得==， 又∴|MM′|=4，又|FF′|=6， ∴==，. 故选：D．   5. 设x、y满足约束条件，若z=x2+y2 ，则z的最小值为（  　  ） A． B． C． D． 参考答案： B 6. 已知两条直线y=ax－2和y=（a＋2）x＋1互相垂直，则a的值为 A.2         B.1         C.0         D.－1 参考答案： D 7. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 (     )     A. 1             B. 2               C. 3             D. 4 参考答案： A 8. 双曲线的焦距为（　　） Ａ．４　　       Ｂ．　　      Ｃ．８　　      Ｄ．与无关 参考答案： C 9. 已知e为自然对数的底数，设函数，则（　　） A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值  B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值 C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值 D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值 参考答案： C 略 10. 如图，等腰梯形中，且，设，，以、为焦点，且过点的双曲线的离心率为；以、为焦点，且过点的椭圆的离心率为，则          A. 当增大时，增大，为定值          B. 当增大时，减小，为定值          C. 当增大时，增大，增大          D. 当增大时，减小，减小 参考答案： B　 由题可知：双曲线离心率与椭圆离心率 设则，，， ，， 时，当增大，减小，导致减小. . 故选B. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直线3x-4y+5=0经过变换后，坐标没变化的点为          ； 参考答案： 略 12. 若在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，则a的取值范围是         ． 参考答案： （﹣∞，1） 考点：函数恒成立问题． 专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析：2x（3x+a）＜1可化为a＜2﹣x﹣3x，则在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，等价于a＜（2﹣x﹣3x）max，利用函数的单调性可求最值． 解答： 解：2x（3x+a）＜1可化为a＜2﹣x﹣3x， 则在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，等价于a＜（2﹣x﹣3x）max， 而2﹣x﹣3x在[0，1]上单调递减， ∴2﹣x﹣3x的最大值为20﹣0=1， ∴a＜1， 故a的取值范围是（﹣∞，1）， 故答案为：（﹣∞，1）． 点评：该题考查函数恒成立问题，考查转化思想，注意“存在”与“恒成立”问题的区别与联系是解题关键． 13. 定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有 成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件.若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为         . 参考答案： 试题分析：由已知中利普希茨条件的定义，若函数满足利普希茨条件，所以存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有成立，不妨设，则.而，所以的最小值为.故选C. 考点：1. 利普希茨条件；2.利用函数的单调性求值域；恒成立问题. 14. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为　  　． 参考答案： 9 【考点】正弦函数的图象． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】先跟据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断ω为奇数，由f（x）在（，）单调，可得ω?+φ≥2kπ﹣，且ω?+φ≤2kπ+，k∈Z，由此求得ω的范围，检验可得它的最大值． 【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴， ∴ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，且ω?+φ=n′π+，n′∈Z， ∴相减可得ω?=（n′﹣n）π+=kπ+，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数． ∵f（x）在（，）单调，∴ω?+φ≥2kπ﹣，且ω?+φ≤2kπ+，k∈Z， 即﹣ω?﹣φ≤﹣2kπ+ ①，且ω?+φ≤2kπ+，k∈Z ②， 把①②可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11． 当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣． 此时f（x）=sin（11x﹣）在（ ，）上不单调，不满足题意． 当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=， 此时f（x）=sin（9x+）在（，）上单调递减，满足题意； 故ω的最大值为9， 故答案为：9． 【点评】本题主要考查正弦函数的零点以及它的图象的对称性，正弦函数的单调性的应用，属于中档题． 15. 已知m〉0，n〉0,向量 a=（m ,1），b=（2 —n，1），且 a//b，则的最小值是______． 参考答案： 16. 记函数的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是      参考答案： 由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率是. 17. 已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为___________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 射洪县教育局从去年参加了计算机职称考试，并且年龄在[25，55]岁的教师中随机抽取n人的成绩进行了调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图： 组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率 第一组 [25，30） 120 0.6 第二组 [30，35） 195 p 第三组 [35，40） 100 0.5 第四组 [40，45） a 0.4 第五组 [45，50） 30 q 第六组 [50，55） 15 0.3 （1）补全频率分布直方图，并求a、p、q的值； （2）若用以上数据来估计今年参考老师的过关情况，并将每组的频率视作对应年龄阶段老师的过关概率，考试是否过关互不影响．现有三名教师参加该次考试，年龄分别为41岁、47岁、53岁．记ξ为过关的人数，请利用相关数据求ξ的分布列和数学期望． 参考答案： 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）根据频率和为1，计算[30，35）内的频率，求出对应小矩形的高， 补全频率分布直方图，计算样本容量n以及p、a和q的值； （2）求出年龄分别为41岁、47岁、53岁过关的概率， 得ξ的可能取值，求出对应的概率值，写出ξ的分布列，计算数学期望值． 【解答】解：（1）根据频率和为1，得[30，35）内的频率为 1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3， ∴=0.06， ∴补全频率分布直方图如图所示： 第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2， ∴n==1000； 第二组的频率为0.3， ∴第二组的人数为1000×0.3=300， ∴p==0.65； 第四组共有1000×0.15=150人， ∴a=150×0.4=60； 第五组共有1000×0.1=100人， ∴q=30÷100=0.3； 综上，a=60，p=0.65，q=0.3； （2）根据题意，年龄分别为41岁、47岁、53岁过关的概率分别为，，， 则P（ξ=0）=××=，P（ξ=1）=××+2×××=， P（ξ=2）=2×××+××=， P（ξ=3）=××=； ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 数学期望为Eξ=0×+1×+2×+3×=1． 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合题． 19. （本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。 Ⅰ、求证：CE⊥平面PAD； Ⅱ、若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，       求四棱锥P-ABCD的体积. Ⅲ、在满足（Ⅱ）的条件下求二面角B-PC-D的 余弦值的绝对值. 参考答案： (1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA⊥CE, 因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PAAD=A,所以CE⊥平面PAD…………….3分 (2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD. 又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以 ==,又PA⊥平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD的体积等于……………7分 （3）建立以A为原点，AB,AD,AP为x,y,z轴的空间坐标系，取平面PBC的法向量为n1=(1,01)，取平面PCD的法向量为n2=(1,1,3)， 所以二面角的余弦值的绝对值是………………………………………………….12分 20. 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AC1⊥平面ABC，，，，D是AA1的中点． （1）求证：CD⊥平面AB1； （2）在侧棱BB1上确定一点E，使得二面角的大小为． 参考答案： （1）证：∵面面，,∴面，即有； 又，为中点，则.∴面. （2）如图所示 以点为坐标系原点，为轴，过C点平行于AB的直线为y轴,CA1为轴， 建立空间直角坐标系，则有，，，，， 设，且，即有， 所以点坐标为. 由条件易得面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 由可得， 令，则有， 则 ，得. 所以，当时，二面角的大小为. 21. 已知。 （Ⅰ）求函数的最小值； （Ⅱ）若存在，使成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）证明对一切，都有成